real-analysis-class31 实变函数论应用数学讲义.pdf

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2018-01-29 发布于浙江
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real-analysis-class31 实变函数论应用数学讲义

實變函數論─應用數學系吳培元老師 Class 31 Thm. (X ,  , u ),(Y ,  ,  )  -finite measure spaces. E     Letf (x ) (E ) forx X : X [0, ]    x g ( y) u(E y ) for y Y : Y [0, ]    Thenf ,g meas. fdu gd  iterated integrals Note: Special case of Tonellis Thm : , ( ) ( , ) , ( ) ( , ) h  f x   x du g y    y du E Y E X E Pf: Note: , y (Lma 1) E   Ex  E  Let D E  : assertions true Check:  D (i) Let A  , B  with u (A),  (B )  Check: A B D (B ) if x A  (B )A f (x ) ((A B ) )   x    ( ) 0 if x  A Similarly, g ( y) u(A)B f ,g meas. fdu (B )u (A ) gd  (ii) Fix E A B   with u ( A),  (B)     D Let DE D  : D E  Then DE monotone class   D Let En , En E , En Check: F En D n Pf: E F n     Enx Fx (Enx ) (Fx )   0 f n (x ) f (x ) E D f meas. f meas. n n MCT  f du  fdu  n  Similarly for g d  gd  n   fdu fd    i.e., F D Similarly for En  (need : u(A), (B) )    (iii) E A B   with u (A),