real-analysis-class35 实变函数论应用数学讲义.pdf

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2018-01-29 发布于浙江
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real-analysis-class35 实变函数论应用数学讲义

實變函數論─應用數學系吳培元老師 Class 35 Sec. 3.2. Lp spaces 　(X , a,u ) measure space, p  1 Def: Lp (X ,u ) f : X [ , ], meas.,  f p du  1 　　f ( f p du ) p for f L p 　(X ,u )　 p Def: L　 (X , u ) f : X [ , ], meas., f essentially bdd on X  f ess. sup . f for f L 　(X , u )   Holders  : 1 1 p q 1  ,  ,  1 p q f L p g Lq f g L 1 fg f g  ,     and   1 p q p q x y x y p q Note: For 2, Cauchy-Schwarz : ( , )   ; if 0  1, then  0. 2 2 Pf: (1) p 1, q  : fg 1  fg g   f g  f 1 Note: for a.a. x , either f (x ) 0 or g (x ) g  (2) p  , q 1: Similarly as (1) (3) 1 p , 1 q : Morever, for 1 p  iff f p c g q a.e. for somec  0 or g 0 a.e. or f 0 a.e. If f 0, thenf 0 a.e. fg 0 a.e. conclusion trivial p Similarly for g 0 q Assume f g  0 p q ap bq ab   a b  p q ap bq for , 0 (Trivial for 2); Note: iff p q (Youngs  ; cf. Royden, p.123, Ex.8) Pf. of Youngs  : p 1 y y x 1 b