real-analysis-class41 实变函数论应用数学讲义.pdf

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2018-01-29 发布于浙江
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real-analysis-class41 实变函数论应用数学讲义

實變函數論─應用數學系吳培元老師 Class 41 Sec. 37 Stone-Weierstiass Thm. Weierstrass Thm. f a b R : , conti.   Then  P  f m    n C a b  P C a b Equivalently, polys are dense in , , , i.e., ,       Proof of Weierstrass:        Lma. : , , , , , , . L C a b C a b L af bg aL f bL g a b R f g C a b n     n   n   n          , , f g L f L g f g C a b n n   Then  unif.   , L f f f C a b n   2 L f  f unif. for f x 1, x , x n   Pf: E.W. Cheney, Introduction to approximation theory, pp. 67-68. Pf. of Weierstrass (Bernstein, 1912): Assume a , b  0,1 .     n n k     k nk Let B f x  f x 1 x for f C 0,1 , x  0,1 , n  1.            n   n k k 0    Then B is linear monotone. n n n   k nk n