real-analysis-class40 实变函数论应用数学讲义.pdf

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2018-01-29 发布于浙江
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real-analysis-class40 实变函数论应用数学讲义

實變函數論─應用數學系吳培元老師 Class 40 n Def. K X is totally bdd if   0, finitely many B (x , ), x K  K  B(x , ) i i  i i 1 (Meaning: paritition K into arbitrarily small parts) Note: K totally bdd  bdd  Pf: : Fix   0 x, y K , x B (x , ), y B (x , ) i j ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x xi xi x j x j y   (x , x )  max i j i, j  sup (x, y ) 2  (x , y )  max i i x y K i, j ,  1 : K , X as in preceding example with   2 Thm (X , ) complete metric space K X is compact K closed totally bdd Pf: : x B x  x K K  0,  ( , ) :  open covering of B x  x x K K   ( i , ) : 1 ,..., n   covers K totally bdd : Let K be closed totally bdd Check: K sequentially compact Let y K   n