数列的定义等差与等比数列.doc

第30课 数列的定义、等差与等比数列 【教学目标】 知识目标 1、理解等差，等比数列的概念,掌握它们的通项公式、前项和公式以及等差，等比数列的性质. 2、能够灵活运用等差，等比数列的公式和性质 二、能力目标 培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数和方程的思想 情感目标 体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。 【教学重点】 理解等差，等比数列的概念,掌握它们的通项公式、前项和公式并能解决实际问题；理解等差，等比中项的概念,掌握等差，等比数列的性质. 【教学难点】 灵活运用等差，等比数列的性质解题 【考点分析】 高考对数列的考察重点是等差、等比数列的定义，通项公式，性质以及前n项和的灵活运用。在选择填空中重点考察时数列的基本量之间的关系以及数列的性质的灵活运用。 【知识点梳理】 等差数列： 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前项和公式 ⑴通项公式，为首项，为公差. ⑵前项和公式或. 3.等差中项 如果成等差数列，那么叫做与的等差中项. 即：是与的等差中项，，成等差数列. 4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：（，是常数）是等差数列； ⑵中项法：()是等差数列. 5.等差数列的常用性质 ⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为. ⑶；(,是常数)；(,是常数，) ⑷若，则； ⑸若等差数列的前项和，则是等差数列； ⑹当项数为，则； 当项数为，则. 等比数列： 1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数 列，常数称为等比数列的公比. 2.通项公式与前项和公式 ⑴通项公式：，为首项，为公比 . ⑵前项和公式：①当时， ②当时，. 3.等比中项 如果成等比数列，那么叫做与的等比中项. 即：是与的等差中项，，成等差数列. 4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：（，是常数）是等比数列； ⑵中项法：()且是等比数列. 5.等比数列的常用性质 ⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列； ⑵在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为. ⑶ ⑷若，则； ⑸若等比数列的前项和，则、、、是等比数列. 【典型例题】 题型一 已知数列的某些项，求某项 例1： 已知为等差数列，，则 【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等差数列的性质 【解析】方法1： 方法2：， 方法3：令，则 方法4：为等差数列， 也成等差数列，设其公差为，则为首项，为第4项. 方法5：为等差数列，三点共线 【名师指引】给项求项问题，先考虑利用数列的性质，再考虑基本量法. 例2 ：已知为等比数列，，则 【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质 【解析】方法1： 方法2：， 方法3：为等比数列 【名师指引】给项求项问题，先考虑利用数列的性质，再考虑基本量法. 变式1：已知为等差数列，（互不相等），求. 【解析】 变式2：已知为等比数列，，求的值. 【解析】设等比数列的公比为， ，，； 变式3：如果将依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 . 【解析】设这个常数为，则成等比数列， ，解得，. 题型二 已知前项和及某项，求项数 例1：⑴已知为等差数列的前项和，，求； ⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数. 【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式求出及，代入可求项数； ⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出，代入可求项数. 【解析】⑴设等差数列的首项为，公差为，则 ⑵ 【名师指引】解决等差数列的问题时，通常考虑两种方法：⑴基本量法；⑵利用等差数列的性质. 例2：⑴已知为等比数列前项和，，，公比，则项数 . ⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数. 【解题思路】⑴利用等比数列的通项公式及求出及，代入可求项数；⑵利用等差数列、等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数. 【解析】⑴由，，公比，得. ⑵方法1：设这四个数分别为，则； 方法2：设前个数分别为，则第个数分别为，则 ，解得或； 方法3：设第个数分别为，则第个数为，第个数为，则 或； 方法4：设第个数分别为，设第个数分别为； 方法5：设第个数分别为，则设第个数分别为，则 或 【名师指引】平时解题时，应注意多方位、多角度思考问题，加强一题多解的练习，这对提高我们