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第六章：拉普拉斯变换 §6.2 Laplace 变换 （一） Laplace 变换的定义 意义：Fourier 变换要求函数在 上绝对可积 问题：许多函数不满足上述条件，如多项式、三角函数等。 引入Laplace 变换 应用：初值问题的解：已知 f(t)|t=0=f0, 求 t0 时， f(t)的数值 [ f(t)满足一定的微分方程]，因此可假定 f(t)|t0=0。 定义： 令 ? 足够大，以保证g(t)是绝对可积的。 由Fourier 变换可得： 令 p=?+i?, 则 例1 Heaviside阶越 函数: 例2 线性函数　f(t)=t (t0): （二）Laplace 变换的基本性质 Laplace 变换 的特性： （1） 在 Re(p)?0 的半 平面代表一个解析函数。 （2）当 |Arg p|??/2-ε (ε0) 时： (1) 线性定理：与 Fourier 变换一样。 例6 （2）原函数导数定理: 取 有 于是 同样有： （3）原函数积分定理: 对f(t)应用导数定理 即： （8）像函数导数定理 由例5 即： 像函数求导数，相当于原函数乘 (-t)。 （9）像函数积分定理 因此： 即： 像函数求积分，相当于原函数除 t。 这一特性可用来作积分 例 7 例 8 §6.3 Laplace 变换的反演 关于 t 的微分方程　　 　　关于 p的代数方程　　 关于 p的代数方程　 原微分方程的解 因此，Laplace 变换的反演是非常重要的。 几种常用的方法。 （一）有理分式的反演：把有理分式分解,然后利用一些基本公式和 Laplace 变换的性质求原函数。 例1 求 因此原函数为 （二）查表法反演： 例2： 求 的原函数。 由表查得 又由延迟定理 因此 例3 求 的原函数。 解：由表查得 由位移定理： 因此原函数为 例4 求 解：因为 由延迟定理得到： 由位移定理得到： 卷积定理: 原函数为 *（三）一般反演方法：黎曼-梅林反演公式 在 L 右边，像函数解析，无奇点。 故作围道 (L+CR) 在 L 的左边。 设 在 L 的左边只有有限个 孤立奇点 pk，由残数定理 因在 L 的右边无奇点，所以可以说：pk 是全平面上像函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂。) Fourier 变换 与 Laplace 变换 的比较： 例1 L-R串联电路有交流源 E=E0sin?t, 求电路中的电流。 解：电流方程： 两边作 Laplace 变换： 解得： 作变换 （1）Fourier 变换 与 逆变换比较对称，但 Fourier 变换对函数要求较严； 数值计算比较成熟：FFT; （2）尽管 Laplace 逆变换是复变积分，因像函数是 一个解析函数，可以利用复变函数理论的公式; 无现成的数值计算程序；每个问题的极点分布 不一样； L R E(t) K §6.4 应用例 * ——Laplace积分 的Laplace 变换函数 由 Fourier 逆变换可推得 Laplace逆变换公式 (6.2.3)： Laplace变换 ——Laplace变换核 即 由 ——黎曼-梅林反演公式 写作： f(t)：原函数; ： 像函数 Laplace 变换存在的充分条件是： （1）在 0? t ?的任一有限区间上，除了有限个第一类间断点外，函数f(t)及其导数是处处连续的，（2） 存在常数 M0 和 ??0，使对于任何t (0? t ?), 有 ?的下界称为收敛横标，以?0 表示。大多数函数都满足这个充分条件 ? = ? = ? ? 或 ? p 平面 ? ? ?0-i? ?0+i? o 例3 指数函数 est 例4 解： 同理