《离散数学》part2.pptVIP

第二部分 集合论 2 集合论简介 集合是数学中最基本的概念，又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普遍采用的描述工具。 集合论在开关理论、形式语言、有限状态机、编译原理、数据库原理等领域中有着广泛的应用。 本篇介绍集合论的基础知识，主要内容包括集合的基本运算、序偶、关系、函数、基数等。 3 主要知识点关联图 4 第二篇集合论目录 第4章 集合及其运算 4.1 集合的概念及其表示 4.2 集合的基本运算 4.3 集合中元素的计数 4.4 集合的应用 习 题 四 实验四 集合的基本运算 第5章 二元关系 5.1 集合的笛卡尔积 5.2 二元关系 5.3 等价关系与集合的划分 5.4 相容关系与集合的覆盖* 5.5 偏序关系 5.6 关系的应用 习 题 五 实验五 求关系的闭包 第6章 函数 6.1 函数的概念 6.2 逆函数与复合函数 习 题 六 实验六 函数的图形可视化 第7章 集合的基数** 7.1集合的等势与优势 7.2基数、可数集与不可数集 习 题 七 实验七：自然数性质的可视化表示 5 第4章 集合及其运算 主要内容：集合的基本概念（属于、包含、幂集、空集、文氏图等）；集合的基本运算（并、交、补、差等）；集合恒等式（集合运算的算律、恒等式的证明方法）。 教学要求：理解集合的概念，掌握集合的各种运算，掌握集合的恒等式证明方法。 重点：集合恒等式 难点：集合恒等式的证明 实践活动：集合运算的实现 6 4.1 集合的概念及其表示 4.1.1集合的概念 集合的定义 集合(Set) 是指具有共同性质的或适合一定条件的事物的全体。 组成集合的对象称为集合的成员（member） 或元素（elements）。 7 常见的数的集合 N—自然数集合 Z—整数集合 Q—有理数集合 R—实数集合 C—复数集合 8 集合的表示法 枚举法----通过列出全体元素来表示集合 谓词法----通过谓词概括集合元素的性质 图示法----用一个圆来表示集合, 圆中的点表示集合中的元素. 实例： 枚举法 自然数集合N={0,1,2,3,…} 谓词法 S={x| x是实数，x21=0} 9 集合的元素 三个重要的性质： 互异性-集合的元素是彼此不同的，如果同一个元素在集合中多次出现应该认为是一个元素。 例如：{1，1，2，2，3}＝{1，2，3} 无序性-集合的元素是无序的。 例如：{1，2，3}＝{3，1，2} 确定性-集合的元素是确定的 10 例4.1.1 （1）一个班级里的全体学生构成一个集合； （2）平面上的所有点构成一个集合； （3）方程x2-1=0的实数解构成一个集合； （4）自然数的全体（包含0）构成一个集合，用N表示； （5）整数的全体构成一个集合，用Z表示； （6）有理数的全体构成一个集合，用Q表示； （7）实数的全体构成一个集合，用R表示； （8）复数的全体构成一个集合，用C表示； （9）还有正整数集合Z+，正有理数集合Q+，正实数集合R+； （10）还有非零整数集合Z*，非零有理数集合Q*，非零实数集合R*。 （11）所有 n阶实矩阵构成一个集合，用 表示，即 而所有n阶可逆实矩阵也构成一个集合，用 表示。 11 元素和集合之间的关系 元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于，属于记作∈，不属于记作。 例如：A＝{a，{b，c}，d，{{d}}} a∈A，{b，c}∈A，d∈A，{{d}}∈A， bA，{d}A。 b和{d}是A的元素的元素。 可以用一种树形图表示集合与元素的隶属关系。 隶属关系可以看作是处在不同层次上的集合之间的关系。 规定：对任何集合A都有AA。 A 说明 12 集合与集合之间的关系 定义4.1.1 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集(subset)。这时也称B被A包含，或A包含B，记作 BA。 包含的符号化表示:BA  x(x∈B→x∈A) 显然对任何集合A都有 AA。 13 隶属和包含的说明 隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些集合可以同时成立这两种关系。 例如 A＝{a，{a}}和{a} 既有{a}∈A，又有{a}A。 前者把它们看成是不同层次上的两个集合， 后者把它们看成是同一层次上的两个集合。 14 集合相等(equal) 定义4.1.2 设A，B为集合，如果 AB 且 BA，则称A与B相等，记作A＝B。 相等的符号化表示为： A＝B  AB ∧ BA 如果A与B不相等，则记作A≠B。 15 真子集 定义4.1.3 设A，B为集合，如果 BA 且 B≠A，则称B是A的真子集，记作BA。 真子集