复变函数与积分变换：1节PPT.ppt

第二章 拉普拉斯变换 §1 拉氏变换的定义 1、为什么要研究拉氏变换？ (2)付氏变换中要求函数绝对可积。但工程技术当中 常用的函数如单位阶跃函数、正弦余弦函数都不满足 这使得付氏变换的应用范围受到限制。 (1)付氏变换中函数要求在整个数轴上有定义。但许 多物理现象中，所考虑的都是以时间为变量的函数 因此，只要在 上研究就可以了。 能否对某些函数 经过适当的加工而进行付氏变换 以克服以上两个缺点呢？答案是肯定的！ 首先，由单位阶跃函数的特点，可将 乘上 这样得到 在 时为0， 时仍为 其次，函数 之所以不绝对可积，往往是因为 时， 绝对值减少太慢。由于指数函数 有 时衰减很快的特点，因此用 乘以 得到的 当 时，只要取足够大的 ，就能保证它的绝对可积性，而对 的 付氏变换就产生了拉氏变换。 F 则有 定义：设函数 当 时有定义，积分 ( 是一个复数)在 的某一区域内收敛，则称此积分 所确定的函数 为 的拉氏变换，记为 即 也称为 的象函数。若 是 的拉氏变换， 为 的拉氏逆变换，记为 称 也称为 的象原函数。 例1：求 的拉氏变换。 解： 例2：求 的拉氏变换 ( 为实数) 解： 2、拉氏变换的存在定理 拉氏变换的条件要比付氏变换条件弱得多,但对 一个函数进行拉氏变换还是需要一定条件的. 定理:若 满足下列条件 (1)在 的任何一个有限区间上分段连续; (2)当 时 的增长速度不超过某一指数函数 即存在常数 ,使 。(满足此条件 的函数称它的增长是指数级的, 为它的增长指数)。 则 的拉氏变换 在右半平面 上一定存在。右端的积分在 上绝对收敛且一致收敛，并且 的右半平面内 为解析函数。 分别对应的复数为 取如图所示路径C，则 即 从而 同理 这样 从而 这里使用了 函数： 容易证明 此时 例5：求周期三角形波的拉氏变换 解： * *