复变函数 柯西-古萨积分定理.ppt

* 1、 引言 柯西-古萨积分定理 复变函数的积分实际上等同于对坐标的曲线积分，这就很自然地引出积分与路径无关的问题. 我们的问题是：在什么条件下复变函数的积分 与积分路径无关？此问题等价于沿任意的闭曲线积分是否等于零的问题. 2、 柯西积分定理 人们对此定理的评价是很高的，有人称之为 积分的基本定理或函数论的基本定理。还有人 认为它是研究复变函数论的一把钥匙。 推论1 设f (z)在单连通区域D内解析，则在D内f (z)的积分与路径无关. 推论2 若f (z)在闭合曲线C上及C内无奇点，则 3、 原函数 当z在区域D内变化时，积分值也变化，并且该积分在D内确定了一个单值函数（变上限的单值函数），记作 当f (z)在单连通区域D内解析，则在D内积分与路径无关，即以 为起点，z为终点的D内任何路径上的积分值都相等，可记为 定理2 设f (z)在单连通区域D内解析，则F(z)在 D内解析，且 分析： 只须证 即 而 定义 若函数F(z) 在区域D内的导数等于f (z) ，即 ,称F (z)为f (z)在D内的原函数. 定理3：任何两个原函数相差一个常数。 定理4 设f (z)在单连通区域D内解析， F(z)是f (z)的一个原函数，则 --------复积分的牛顿—莱布尼兹公式 说明：在区域单连通而函数解析的情况下，可用此公式求复变函数的积分，特别是处处解析的函数的积分。 例1 计算下列积分： 定理5 §3 复合闭路定理 下面把定理1推广到多连通域上.