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实例_动物种群的相互竞争与相互依存的模型
实例2 动物种群的相互竞争与相互依存的模型
一 问题分析及模型的建立
设和分别表示时刻田鼠与其天敌的数量,如果单独生活,田鼠的增长速度正比于当时的数量,即
而田鼠的天敌由于没有被捕食对象,其数量减少的速率正比于当时的数量,即
现在田鼠与其天敌生活一起,田鼠一部分遭到其天敌的消灭,于是以一定的速率减少,减少的数量正比于天敌的数量,因此有
类似地,田鼠的天敌有了食物,数量减少的速率减少,减少的量正比于田鼠的数量,因此有
上述公式,最后两个方程联合起来称为Volterra-Lot方程,这里均为正数,初始条件为
现在通过实验调查所得到的数据如表,此数据为每隔两个月田间调查一次,得到的田鼠及其天敌种群数量的记录,数量的单位经过处理.试建立合理的数学模型.
表 田鼠种群数量记录
29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.2 69.6 39.8 34.0
20.7 22.0 37.6 57.6 124.6 225.0 272.7 195.7 94.5 41.9 25.7
10.9 22.5 33.5 48.2 92.5 183.3 268.5 230.6 115.5
表 田鼠天敌种群数量记录
1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.8 2.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.2 0.9
1.1 1.3 1.6 2.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.0 0.9 1.1 1.3 1.9 2.3
二 模型的求解
Volterra-Lotok方程的解析解即的显示解难求出,因此公式的参数方程不宜直接用Matlab函数来拟合解,可用如下的方法来求其近似解.
Volterra-Lotok可转化为
在区间上积分,得
这里,,,
于是得到方程组
这里
因此方程组参数的最小二乘解为
由于和均为未知,因此用数值积分方法的梯形公式解
这样就可求得参数的近似值.
模型参数求解的程序为
clear all,clc
X=[29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.2 69.6 39.8 ...
34.0 20.7 22.0 37.6 57.6 124.6 225.0 272.7 195.7 94.5 41.9 25.7 ...
10.9 22.5 33.5 48.2 92.5 183.3 268.5 230.6 115.5];
Y=[1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.8 2.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.2 0.9 ...
1.1 1.3 1.6 2.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.0 0.9 1.1 1.3 1.9 2.3];
N=[X;Y];
T=[0:2:60];
for i=1:30
A(i,1)=T(i+1)-T(i);
A(i,[2 3])=((T(i+1)-T(i))/2)*[-(N(1,i+1)+N(1,i)),-(N(2,i+1)+N(2,i))];
B(i,[1 2])=[log(N(1,i+1)/N(1,i)),log(N(2,i+1)/N(2,i))];
end;
A1=A(:,[1 3]);
P1=inv((A1*A1))*A1*B(:,1)
A2=A(:,[1 2]);
P2=inv((A2*A2))*A2*B(:,2)
上述结果代入Volterra-Lotok方程,用MATLAB函数ode45求方程在时间[0,60]的数值解.作图可看到田鼠及其天敌数量的周期震荡.
求方程Volterra-Lotok的数值解的程序为
定义函数vlok为
[vlok.m]
functio
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