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企业管理之现代控制基础理论教程7

5.5 状态重构问题与Luenberger状态观测器 前已指出,对于状态完全能控的线性定常系统,可以通过线性状态反馈任意配置闭环系统的极点。事实上,不仅是极点配置,而且系统镇定、解耦控制、线性二次型最优控制 (LQ)问题等,也都可由状态反馈实现。然而,在5.2 节介绍极点配置方法时,曾假设所有的状态变量均可有效地用于反馈。但在实际情况中,并非所有的状态度变量都可用于反馈。这时需要估计不可量测的状态变量。 迄今已有多种无需使用微分来估计不能量测状态的方法。对不能量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器,或简称观测器。 观测器分为 全维状态观测器 降维状态观测器 最小阶状态观测器或最小阶观测器 5.5.1 问题的提法 在下面有关状态观测器的讨论中,我们用表示被观测的状态向量。在许多实际情况中,一般将被观测的状态向量用于状态反馈,以便产生期望的控制输入。 考虑如下线性定常系统 (5.27) (5.28) 假设状态向量可由如下动态方程 (5.29) 中的状态来近似,则该式表示状态观测器,其中称为观测器的增益矩阵。注意到状态观测器的输入为和,输出为。式(5.29)中右端最后一项包括可量测输出与估计输出之差的修正项。矩阵起到加权矩阵的作用。修正项监控状态变量。当此模型使用的矩阵A和B与实际系统使用的矩阵A和B之间存在差异时,由于动态模型和实际系统之间的差别,该附加修正项将减小这些影响。图5.5所示为带全维状态观测器的系统方块图。 图5.5 全维状态观测器方块图 5.5.2 全维状态观测器的误差方程 在此讨论的状态观测器的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式(5.27)和(5.28)定义。观测器的方程由式(5.29)定义。 为了得到观测器的误差方程,将式(5.27)减去式(5.29),可得 (5.30) 定义与之差为误差向量,即 则式(5.30)可改写为 (5.31) 由式(5.31)可看出,误差向量的动态特性由矩阵的特征值决定。如果矩阵是稳定矩阵,则对任意初始误差向量,误差向量都将趋近于零。也就是说,不管和的值如何,都将收敛到。如果所选的矩阵的特征值使得误差向量的动态特性渐近稳定且足够快,则任意误差向量都将以足够快的速度趋近于零 (原点),此时将称为的渐近估计或重构。 如果系统完全能观测,下面将证明可以通过选择,使得具有任意的期望特征值。也就是说,可以确定观测器的增益矩阵,以便产生期望的矩阵。 5.5.3 对偶问题 全维状态观测器的设计问题,是确定观测器增益矩阵,使得由式(5.31)定义的误差动态方程,以足够快的响应速度渐近稳定(渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵的特征值决定)。因此,全维观测器的设计就归结为如何确定一个合适的,使得具有期望的特征值。此时,全维状态观测器的设计问题实际上就变成了与5.2节讨论的极点配置相同的问题。 考虑如下的线性定常系统 在设计全维状态观测器时,我们可以求解其对偶问题。也就是说,求解如下对偶系统 的极点配置问题。假设控制输入为 如果对偶系统是状态完全能控的,则可确定状态反馈增益矩阵K,使得反馈闭环系统的系统矩阵得到一组期望的特征值。 如果,,…,是状态观测器系统矩阵的期望特征值,则可通过取相同的作为其对偶系统的状态反馈闭环系统的期望特征值,从而 注意到和的特征值相同,即有 比较特征多项式和观测器的系统矩阵(参见式(5.31))的特征多项式,可找出和的关系为 因此,观测器问题与极点配置问题具有对偶关系,即 在下面的讨论中,我们就可将给定线性定常系统的观测器设计问题,考虑为其对偶系统的极点配置问题,即首先由极点配置方法确定出其对偶系统的极点配置增益矩阵K,然后利用关系式,确定出原系统的观测器增益矩阵K。 5.5.4 可观测条件 如前所述,对于使具有期望特征值的观测器增益矩阵的确定,其充要条件为原给定系统的对偶系统 是状态完全能控的。该对偶系统的状态完全能控的充要条件为 的秩为n 。而这正是由式(5.27)和(5.28)定义的原系统的状态完全能观测性条件。这意味着。由式(5.27)和(5.28)定义的系统的状态观测器存在的充要条件是系统完全能观测。 下面将利用上述对偶关系,介绍全维状态观测器的设计算法,包括相应的Bass-Gura算法、直接代入法,以及爱克曼公式。 5.5.5 全维状态观测器的Bass-Gura算法 考虑由下式定义的单输入单输出线性定常系统 (5.32) (5.33) 式中,。 假设系统是状态完全能观测的,又设系统结构如图5.5所示。在设计全维状态观测器时,若将式(5.32)、(5.33)给出的系统变换为能观测标准形,则相应的设计问题就相当方便了。考

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