由一道高考题想到的圆锥曲线的一组性质.DOC

由一道高考题想到的圆锥曲线的一组性质 07高考江苏卷的第19题为: 如图,在平面直角坐标系中,过轴正方向上的一点任作一直线与抛物线相交于两点,一条垂直于轴的直线分别与线段和直线交于. (1).略； (2).若的中点,求证:为此抛 物线的切线； 试问(2)的逆命题是否成立?说明理由. 黄伟亮先生在文[1]中证明了以下命题: 为抛物线上的除顶点外的任一点,作轴于,点关于轴的对称点为,则为抛物线的切线. 比较卷中的第二问和上述命题,可知前者实为后者的推广. 再看洪丽敏先生在文[2]中证明的两个命题: (1)若过抛物线内某一定点的直线与抛物线有两个不同交点,则过这两 个点所作的切线的交点必在一条定直线上; (2)过抛物线外且垂直于抛物线的对称轴的定直线上的任一点作抛物 线的两条切线,则两切点所在直线恒过定点. 注1:上述命题(2)可作一般推广,有兴趣的读者不妨一试. 在比照抛物线的这些关联性质的同时,笔者由此想到了以下的椭圆和双 曲线的一组类似的性质. 性质1:过的直线交椭圆于两点,中点,交直线于,则是椭圆的切线. 证明:设 由 得 则,故为 设椭圆在两点的切线交于点则直线的方程为,比照,得坐标为求得直线:和直线的交点为知重合,所以是椭圆的切线. 注2:性质1实际上给出了椭圆在其上一点处的切线的尺规作法.从中可知,关键是如何先作出直线只需作出长度为的线段的第四比例项,或可据文[3]的性质1直接作出. 性质2: 过的直线交椭圆于两点,过点的切线和直线交于,取中点,则三点一线. 证明: 设 由 得. 求得点的坐标为.易知切线的方程为,由,得, 知的坐标为 显然,而, 则,所以三点一线. 在性质1中,不难知道,过的切线的交点在直线上,更一般的有以下的: 性质3:过定点(非椭圆中心)的直线与椭圆有两个交点,则过这两点所作的椭圆的切线的交点必在一定直线上. 证明:设定点为,过的直线与椭圆交于两点 ,设过的椭圆的切线的交点为则直线的方程为,即 若直线的斜率存在,则设的方程为,即. 若,比照方程(1)和方程(2),得,则,消去得; 若,可以验证,即仍适合方程. 所以点M在直线上. 如若直线的斜率不存在,由性质1知点的坐标为,显然点仍然在直线上. 综上知,性质3成立. 性质4:过定直线(定直线不过椭圆的中心)上的点作椭圆的两条切线,则切点弦所在的直线过定点. 证明:设定直线的方程为,取其上的点为,过P作椭圆的两条切线,切点为,易知直线的方程为 .又,,即,知适合方程,故直线过定点. 类似的,我们可以得到以下的双曲线的四个性质: 性质:过的直线交双曲线于两点, 取中点,交直线于,则是双曲线的切线. 注3:同性质1,性质同样给出了双曲线在其上一点处的切线的尺规作法. 性质:过的直线交双曲线于两点,过点的切线和直线交于,取中点,则三点一线. 性质:过定点的直线和双曲线交于两点,则过点的双曲线的两条切线的交点必在定直线上. 性质:过定直线上的点作双曲线的两条切线,切点分别为,则直线过定点. 限于篇幅,上述四个性质的证明略去,有兴趣的读者不妨一试. 参考文献: [1]:黄伟亮.双曲线、抛物线切线的尺规作法.数学通报,2004.12. [2]:洪丽敏.对抛物线切线性质的再研究.数学通报,2006.7. [3]:金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报,2003.7.