散型随机变量的分布列、期望、方差.doc

10年高考数学第一轮复习资料 散型随机变量的分布列、期望、方差 一、知识与方法： 1．离散型随机变量的分布列： …… …… 性质：；且________ 。 2．离散型随机变量的数学期望：______________，它反映随机变量取值的平均水平。 3．离散型随机变量的方差：______________________，反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度：越小，取值越集中，越大，取值越分散。 4．的算术平均数叫做随机变量的标准差，记作。 5．性质：_________；__________。 6．提示：（1）在实际中经常用期望来比较平均水平，当平均水平相近时，再用方差比较稳定程度；（2）注意离散型随机变量的期望、方差与样本数据的平均数、方差的联系。 二、例题分析： 例的数学期望. 解：（1）从甲盒中取两个正品的概率； 从乙盒中取两个正品的概率为。 故取得的4个元件均为正品的概率。 （2）取得正品元件个数的分布列为 0 1 2 3 4 例、两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。根据以往成绩，每场中队胜的概率为，设各场比赛的胜负相互独立. （1）求队夺冠的概率；（2）设随机变量表示比赛结束时的场数，求. （1）队连胜3场的概率为，打4场胜3场的概率为， 打5场胜3场的概率为 故队获胜的概率为， （2）；； ；故的分布列为（略） 三、练习题： 1．已知随机变量的分布列如下，则_；___；_____。 0 1 2 2．随机变量的分布列为，其中1、2、3、4、5、6，则 为_______，______。， 3．从签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签中，任意取3支，设为这3支签的号码之中最大的一个。则的的数学期望为________。 4．某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过. （1）求第一天通过检查的概率；（2）求前两天全部通过检查的概率； （3）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望. 解 （2）第一天有8件正品，第二天通过检查的概率为，又第一天，第二天是否通过检查相互独立。所以，两天全部通过检查的概率为 （3）记得分为，则的值分别为0，1，2， ，； 故的分布列为（略），因此 5．两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则，即先胜三局的队获胜，比赛到此也就结束，较强队每局取胜的概率为，设比赛结束时的局数为，求. （计算结果保留三个有效数字） 解：比赛结束时的局数为的取值为，，. ， 的概率分布为（略）故 =3×0.2800+4×0.3744+5×0.3456 = 4.0656. 6．甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投次，甲先投，若有人 投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为 （1）乙投篮次数不超过次的概率； （2）记甲、乙两人投篮次数和为，求的分布列和数学期望. 解：（1）“乙投篮次数不超过次”的对立事件是“乙投篮次”，所以，所求的概率是 = （2）甲、乙投篮总次数的取值，，，，则， ， ， 。 的分布列（略），数学期望为。 7．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为，被甲或乙解出的概率为。 （1）求该题被乙独立解出的概率。（2）求解出该题的人数的数学期望和方差。 解：（1）记甲独立解出此题的事件为、乙独立解出此题的事件为，则， 依题意得，即……，解得， （2），。 8．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知某学生只选修 甲的概率为，只选修甲和乙的概率是，至少选修一门的概率是，用表 示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. （1）设事件 表示“函数为偶函数”，求事件的概率； （2）求的分布列和数学期望. 解：（1）设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为、、 依题意得，即…… ，解得， 若函数为偶函数，则=0， 故事件表示该学生选修三门功课或三门功课都没选 ∴， （2）的数学期望为。 9．某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3个同学曾经参加过天文研究性学习活动. （1）现从该小组中随机选2个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过天文研究性学习活动的同学的概率； （2）若从该小组随机选2个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，求该小组没有 参加过天文研究性学习活动的同学个数数学期望. 解：（1）记“随机选2