8-6椭圆.doc

8.6 椭 圆 一、选择题 1．椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于(　　) A．2 B．4 C．8 D. 解析：连接MF2，已知|MF1|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝10， |MF2|＝10－|MF1|＝8，如图，|ON|＝|MF2|＝4. 答案：B 2．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　) A．－21 B．21 C．－或21 D.或21 解析：若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，由＝即＝得k＝－； 若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，由＝，即＝，解得k＝21. ：C 3．已知如图，椭圆＋＝1(ab0)上一点P，F1、F2为椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，则△PF1F2的面积等于(　　) A．a2tan B．a2cot C．b2tan D．b2cot 解析：在△PF1F2中，由余弦定理得：2|PF1|·|PF2|·cos θ＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2＝(2a)2－2|PF1|·|PF2|－(2c)2(其中c2＝a2－b2)． ∴|PF1|·|PF2|·(1＋cos θ)＝2b2，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin θ＝··sin θ＝b2tan. 答案：C 4．椭圆＋＝1的右焦点为F，设A(－，)，P为椭圆上的动点，则|AP|＋ |PF|取得最小值时P点的坐标是(　　) A．(，) B．(5,0) C．(0,2) D．(0，－2)或(0,2) 答案：A 二、填空题5．如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆＋＝1(ab0)上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率是________． 解析：本题考查椭圆离心率的求法．由题得△PF1F2为直角三角形，设|PF1|＝m，则tan∠PF1F2＝，∴|PF2|＝，|F1F2|＝m，∴e＝＝＝. 答案： 6．(2009·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，A1、A2、B1、B2为椭圆＋＝1(ab0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________． 解析：直线A1B2的方程为＋＝1，即bx－ay＝－ab，① 直线B1F的方程为＋＝1，即－bx＋cy＝－bc，② 解①②联立方程组得 所以，T，则M. 由已知条件：＋＝1， 整理得3a2－10ac－c2＝0，即e2＋10e－3＝0，又0e1.解得e＝2－5. 答案：2－5 7．已知椭圆＋y2＝1的左、右两个焦点分别为F1和F2，点P为椭圆上任意一点，点E在椭圆的右准线上．给出下列命题： 则其中所有正确命题的序号为________． 解析：本题考查椭圆的定义，有关量的运算及位置关系．椭圆的标准方程为＋＝1， 此时cos∠F1QF2＝0， ∴∠F1QF290°，所以在椭圆上存在点Q，使∠F1QF2＝90°，③对； 答案：②③ 三、解答题 8．设P是椭圆＋y2＝1(a1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值． 解答：依题意可设P(0,1)，Q(x，y)则|PQ|＝. 又因为Q在椭圆上，所以x2＝a2(1－y2)．|PQ|2＝a2(1－y2)＋y2－2y＋1 ＝(1－a2)y2－2y＋1＋a2＝(1－a2)(y－)2－＋1＋a2. 因为|y|≤1，a1，若a≥，则||≤1， 当y＝时，|PQ|取最大值；若1a，则当y＝－1时，|PQ|取最大值2. 9．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2，相应于焦点F(c，0)(c0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|＝2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若，求直线PQ的方程； 解答：(1)由题意，可设椭圆的方程为＋＝1(a)． 由已知得解得a＝，c＝2.所以椭圆的方程为＋＝1，离心率e＝. (2)由(1)可得A(3,0)．设直线PQ的方程为y＝k(x－3)．由方程组 得(3k2＋1)x2－18k2x＋27k2－6＝0. 依题意Δ＝12(2－3k2)0，得－k. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1＋x2＝，① x1x2＝，② 由直线PQ的方程得y1＝k(x1－3)，y2＝k(x2－3)， 于是y1y2＝k2(x1－3)(x2－3)＝k2[x1x2－3(x1＋x2)＋9]．③ ∵，∴x1x2＋y1y2＝0.④ 由①②③④得5k2＝1，从而k＝±∈(－，)． 所以直线PQ的方程为x－y－3＝0或x＋y－3＝0. 10．在面积为1的△PMN中，tan M＝，tan N＝－2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程