8-5直线与圆的位置关系.doc

8.5 直线与圆的位置关系 一、选择题 1．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB中点，则直线AB的方程是(　　) A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0 答案：A 2．圆心在抛物线y2＝2x上且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是(　　) A．x2＋y2－x－2y－＝0 B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0 C．x2＋y2－x－2y＋1＝0 D．x2＋y2－x－2y＋＝0 解析：设圆心坐标为(，a)，依题意有＋＝|a|，得圆心为(，±1)． 答案：D 3．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：圆的圆心(－1，－2)，半径R＝2，而圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为. 答案：C 4．若直线2x－y＋C＝0按向量a＝(1，－1)平移后与圆x2＋y2＝5相切，则C的值为(　　) A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8 答案： A 二、填空题 5．若直线y＝x＋k与曲线x＝恰有一个公共点，则k的取值范围是______． 解析：利用数形结合法解． 答案：k＝－或k∈(－1,1] 6．如果曲线C：(θ为参数)与直线x＋y＋a＝0有公共点，那么实数a的取值范围是______． 答案：1－≤a≤1＋ 7．过直线y＝4上任一点作圆x2＋y2＝4的切线，则切线长的最小值为________． 答案：2 三、解答题 8．过圆x2＋y2＝r2(r＞0)外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为M、N，证明直线MN的方程是x0x＋y0y＝r2. 证明：证法一：设M、N的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．∵M、N在圆x2＋y2＝r2上， ∴过M、N的切线方程分别是：x1x＋y1y＝r2，x2x＋y2y＝r2，又P是两切线公共点，即有：x1x0＋y1y0＝r2，x2x0＋y2y0＝r2，上两式表明点M(x1，y1)，N(x2，y2)都在二元一次方程x0x＋y0y＝r2表示的直线上．所以直线MN的方程是x0x＋y0y＝r2. 证法二：以OP为直径的圆的方程为：(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x＋y)，即x2＋y2－x0x－y0y＝0，又圆的方程是x2＋y2＝r2，两式相减得x0x＋y0y＝r2，这便是过切点M、N的直线方程． 9．如右图，已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ0)．求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解答：如右图，设M(x，y)，MN切圆于N，则＝λ，即|MN|＝λ|MQ|.又|MN|2＝|MO|2－1＝x2＋y2－1，∴|MN|＝，又|MQ|＝，∴＝λ整理得　(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)＝0，即为所求的轨迹方程．当λ＝1时，方程化为x＝，表示一条直线；当λ≠1时，方程化为(x－)2＋y2＝，它表示圆，圆心为(，0)，半径为. 10．如右图所示，已知圆C1：x2＋y2－2mx－2ny＋m2－1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于 A、B两点且这两点平分圆C2的圆周．求圆C1的圆心C1的轨迹方程，并求出当圆C1的半径最小时圆C1的方程． 解答：圆C1：(x－m)2＋(y－n)2＝n2＋1，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，而C1C2⊥AB且AB为圆C2直径．∴|AC2|＝rc2＝2，又|AC1|2＝rc12＝1＋n2，|AC2|2＝4，|C1C2|2＝(m＋1)2＋(n＋1)2. 在Rt△AC2C1中，由勾股定理，得4＋(m＋1)2＋(n＋1)2＝1＋n2，∴(m＋1)2＝－2(n＋2)即为点C1的轨迹方程．又－2(n＋2)≥0，n≤－2，当n＝－2时，m＝－1， rc1min＝，此时圆C1的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5. 1．一直线经过点P(－3，－)被圆x2＋y2＝25截得的弦长为8，求此弦所在直线方程． 解答： (1)当斜率k不存在时，过点P的直线方程为x＝－3，代入x2＋y2＝25，得y1＝4，y2＝－4. ∴弦长为|y1－y2|＝8，符合题意． (2)当斜率k存在时，设所求直线方程为y＋＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0. 由已知，弦心距|OM|＝ ＝3，∴＝3，解得k＝－. 所以此直线方程为y＋＝－(x＋3)，即3x＋4y＋15＝0. 所以所求直线方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0. 2．已知直线l1：mx－y＝0，l2：x＋my－m－2＝0. (1)求证：对m的任意实数值，l1和l2的交点P在一定圆上； (2)若l1与定圆另一交点P1，l2与定圆另一交点为P2，求当m在实数范围内取值时，△PP1P