8-3直线的交点坐标与距离公式.doc

8.3 直线的交点坐标与距离公式 一、选择题 1．直线3x＋2y＋4＝0与2x－3y＋4＝0(　　) A．平行 B．垂直 C．重合 D．关于直线y＝－x对称 解析：直线3x＋2y＋4＝0与直线2x－3y＋4＝0的法向量分别为(3,2)、(2，－3)， 由(3,2)·(2，－3)＝0知两直线垂直． 答案：B 2．若直线x＋ay－a＝0与直线ax－(2a－3)y－1＝0互相垂直，则a的值是(　　) A．2 B．－3或1 C．2或0 D．1或0 解析：直线x＋ay－a＝0与直线ax－(2a－3)y－1＝0的法向量分别是(1，a)与(a，－(2a－3))，由两直线互相垂直得：a－a(2a－3)＝0，解得：a＝2或a＝0. 答案：C 3．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为(　　) A．0或－ B.或－6 C．－或 D．0或 解析：依题意得＝，∴|3m＋5|＝|m－7|，∴(3m＋5)2＝(m－7)2， ∴8m2＋44m－24＝0，∴2m2＋11m－6＝0，∴m＝或m＝－6. 答案：B 4．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sin Ax＋ay＋c＝0与bx－sin By＋sin C＝0的位置关系是(　　) A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 解析：由＝ 得bsin A－asin B＝0.∴两直线垂直． 答案：C 二、填空题 5．设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为________． 解析：当l与过两点的直线垂直时，(2，－1)与直线l的距离最远，因此所求直线的方程为y－1＝－·(x＋1)即3x－2y＋5＝0. 答案：3x－2y＋5＝0 6．过直线l1：x－2y＋3＝0与l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程为________________． 答案：y＝2或4x－3y＋2＝0 7．在△ABC中，BC边上的高所在直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线为y＝0，点B(1,2)，则点A和点C的坐标分别是________． 解析：由得顶点A(－1,0)，kAB＝1，∴kAC＝－1，∴AC方程为y＝－x－1.① 又BC方程y＝－2x＋4，② 解①和②得C(5，－6)． 答案：(－1,0)，(5，－6) 三、解答题 8．求过点P(1,2)且与A(2,3)和B(4，－5)等距离的直线方程． 解答：解法一：所求直线有两条，一条是过P(1,2)点且过AB的中点，另一条是过P(1,2)与A、B两点所确定的直线平行． AB的中点M的坐标为(3，－1)，∴过P、M两点的直线方程为y－2＝(x－1)， 整理得3x＋2y－7＝0； 过P点与AB平行的直线为y－2＝(x－1)， 整理得4x＋y－6＝0； 因此所求的直线方程为3x＋2y－7＝0，或4x＋y－6＝0. 解法二：设所求的直线方程为y－2＝k(x－1)， 即kx－y＋2－k＝0， 根据题意：＝， 即|k－1|＝|3k＋7|，解得：k＝－4或k＝－. 因此所求的直线方程分别为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 9．在直角梯形OABC中，OA∥BC，OA⊥OC，在OA、BC边上分别有两点P、Q，若PQ平分梯形的面积，求证：直线PQ必过一定点． 证明：如图所示，以OA所在直线为x轴，O为原点，建立坐标系设A、B、P、Q的坐标分别为(a,0)、(b，c)、(t1,0)、(t2，c)， ∴直线PQ的方程为：y＝(x－t1)． 由PQ平分梯形ABCO的面积，∴2S梯形PQCO＝S梯形ABCO. 即2·＝，∴t1＋t2＝，即t2＝－t1. 直线PQ的方程为y＝(x－t1)， 整理得：2cx－(a＋b－4t1)y－2ct1＝0 即(4y－2c)t1＋2cx－(a＋b)y＝0，∴y＝，x＝. 因此直线PQ必过定点(，)． 10．已知直线l过P(3，－2)点，求： (1)原点到直线l距离最大的l的方程； (2)原点到直线l距离为3的l的方程． 解答：(1)∵kOP＝－，∴直线l的斜率为k＝－＝. 则直线l的方程为y＋2＝(x－3)，即3x－2y－13＝0. (2)设所求直线的方程为y＋2＝k(x－3)，即kx－y－3k－2＝0. 由＝3，解得k＝，则l的方程为5x－12y－39＝0， 又斜率不存在时的直线方程x＝3符合题意， 因此直线l的方程为x＝3或5x－12y－39＝0. 1．k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点在第一象限． 解答：由，得 ∵两直线的交点在第一象限， ∴，∴k1. 即当＜k＜1时，两直线的交点在第一象限． 2．已知三条直线l1：mx－y＋m＝0，l2：x＋my－m(m＋1