8-2直线的方程.doc

8.2 直线的方程 一、选择题 1．下列四个命题：①经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示；②经过任意两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(x－x1)＝(y2－y1)(y－y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示；④经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．其中真命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：对命题①④，方程不能表示倾斜角是90°的直线，对命题③，当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线．只有②正确． 答案：B 2．经过点P(2，－1)，且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程(　　) A．2x＋y＝2 B．2x＋y＝4 C．2x＋y＝3 D．2x＋y＝3或x＋2y＝0 解析：当截距不等于零时，设l的方程＋＝1，点P在l上，∴－＝1， 则a＝.∴l的方程为2x＋y＝3.当截距等于零时，设l的方程为y＝kx， 又点P在l上，∴k＝－.∴x＋2y＝0. 答案：D 3．已知动点P(x，y)，若lg y，lg |x|，lg成等差数列，则点P的轨迹图形是(　　) 解析：由已知设：lg y＋lg ＝2lg|x|y(y－x)＝2x2(x＋y)(2x－y)＝0 x＝－y或x＝y(x≠0，y0，yx)． 答案：C 4．点A(a＋b，ab)在第一象限内，则直线bx＋ay－ab＝0不经过的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：由已知得即a0，b0.由bx＋ay－ab＝0知y＝－x＋b. ∴该直线的斜率k0且在y轴上的截距b0，故该直线一定不经过第三象限． 答案：C 二、填空题 5．直线y＝x关于直线x＝1对称的直线方程是________． 解析：在所求直线上任取一点坐标为(x，y)，则关于直线x＝1对称点的坐标是(x0，y0)，则 ∴y0＝x0，即y＝(2－x)， 整理得：x＋2y－2＝0.(也可以用点斜式求解) 答案：x＋2y－2＝0 6．过点(2,3)，且在坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有________． 解析：过(2,3)点斜率为1的一条；过(2,3)点斜率为－1的一条；过(2,3)点和原点的一条，因此共3条． 答案：3条 7．已知两点A(0,1)，B(1,0)，若直线y＝k(x＋1)与线段AB总有公共点，则k的取值范围是__________． 解析：y＝k(x＋1)是过定点P(－1,0)的直线，kPB＝0，kPA＝＝1. ∴k的取值范围是[0,1]． 答案：[0,1] 三、解答题 8．过点P(2,1)作直线l交x，y轴正半轴于A，B两点，当PA·PB＝4时，求直线l的方程． 解答：设直线l：y－1＝k(x－2)，k≠0. 分别令y＝0和x＝0，得A，B(0,1－2k)， ∴PA·PB＝ ＝ ＝4，所以，k2＝1，即k＝±1. 又由题意，可知k0，∴k＝－1，这时直线l的方程是x＋y－3＝0. 9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为. 解答：(1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4， 由已知，得(3k＋4)＝±6，解得k1＝－或k2＝－. 直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是 y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b， 由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 10．过点P(2,1)作直线l交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点．求： (1)当△AOB面积最小时的直线l的方程； (2)当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程； (3)当|PA|·|PB|最小时，求直线l的方程． 解答：(1)显然l的斜率是存在的， 设l的方程为＋＝1. 依题意得设S＝ab， 由1＝＋≥2＝2， ∴S≥4，当且仅当＝＝ 即时，S最小，此时l的方程为x＋2y－4＝0. (2)设l的方程为y－1＝k(x－2)， 则A(，0)，B(0，1－2k)(k≠0，否则矛盾)， 依题意∴k＜0. ∴|OA|＋|OB|＝3－－2k＝3＋(－2k)＋(－)≥3＋2. 当且仅当k＝±，又k＜0，故当k＝－时等号成立， 此时l的方程为x＋2y－2－2＝0. (3)设∠BAO＝α(0＜α＜)，则|PA|＝，|PB|＝， ∴|PA|·|PB|＝， 当α＝时|PA|·|PB|最小，此时l的方程为x＋y－3＝0. 1．过P(－1,2)点且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线的条数是(　　) A．