8-8抛物线.ppt

1．抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (parabola)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 3.抛物线的简单几何性质 1．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分 为A1、B1，则∠A1FB1等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：如图所示，由定义知AA1＝AF，BB1＝BF， ∴∠BB1F＝∠BFB1，∠AA1F＝∠AFA1， ∠A1FB1＝180°－(∠B1A1F＋∠A1B1F)， ∴2∠A1FB1＝180°，∴∠A1FB1＝90°， 此题可用特殊值法，即以AB垂直x轴时为例(详解略)． 答案：D 2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为(　　) 3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A．[－ ， ] B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] 解析：Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k≤1. 答案：C 4．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a，0)都满足|PQ|≥|a|， 则a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，2] C．[0,2] D．(0,2) 答案：B 要注意点F不在直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线．利用抛物线定义可推导抛物线的标准方程．应注意抛物线的标准方程有四种不同的形式． 【例1】 如图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形， |AM|＝ ，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立适当的坐标系， 求曲线段C的方程． 解答：以直线l1为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系， 由条件可知，曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B 分别为C的端点．设曲线C的方程为y2＝2px(p＞0)(xA≤x≤xB，y＞0)， 其中xA、xB分别为A、B的横坐标，p＝|MN|，所以M(－ ，0)、N( ，0)． 由|AM|＝ ，|AN|＝3，得 2pxA＝17， ① (xA－ )2＋2pxA＝9， ② 变式1.求与直线l：x＝－1相切，且与圆C：(x－2)2＋y2＝1相外切的动圆圆心 P的轨迹方程． 解答：设动圆圆心P(x，y)，动圆半径为r. 由已知条件知 因此P点轨迹为以F(2,0)为焦点，l：x＝－2为准线的抛物线， 又 ＝2.∴动圆圆心P的轨迹方程为y2＝8x. 【例2】已知如图所示直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴 上，点A(－1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上， 求直线l和抛物线C的 方程． 解答：设直线l的方程为y＝kx，抛物线C的方程为y2＝2px， p＞0设(a，b)关于y＝kx的对称点坐标为(x0，y0)， ∴A(－1,0)，B(0,8)关于l对称点坐标为( )，( )， 又A、B点在抛物线y2＝2px上， 则 ①除以②整理得，k3＝(k2－1)3，即k2－k－1＝0. 变式2.如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原 点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线方程． 解答：设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－ x， 由 得x＝0或x＝ ∴A点坐标为 B点坐标为(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8 可得 ②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4.则p2＝ 又p＞0，则p＝ ， 所求抛物线方程为y2＝