7-7空间向量的坐标运算.doc

7-7　空间向量的坐标运算一、选择题 1．已知ABCD，且A(4,1,3)、B(2，－5,1)、C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．(，4，－1) B．(2,3,1) C．(－3,1,5) D．(5,13，－3) 解析：，设＝(x，y，z)，则(7,8，－2)＝(x＋2，y－5，z＋1)，∴x＝5，y＝13， z＝－3，即＝(5,13，－3)． 答案：D 2．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)，则△ABC的重心坐标为(　　) A．(6，，3) B．(4，，2) C．(8，，4) D．(2，，1) 解析：△ABC的重心坐标为x＝＝4，y＝＝，z＝＝2. 答案：B 3．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，cos〈a，b〉＝，则λ等于(　　) A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－ 解析：|a|＝，|b|＝3，a·b＝6－λ，根据已知条件＝，解得λ＝－2，或λ＝. 答案：C 4． 已知两空间向量a＝(2，cos θ，sin θ)，b＝(sin θ，2，cos θ)，则a＋b与a－b的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，∴〈a＋b，a－b〉＝90°. 答案：D 二、填空题 5．与A(－1,2,3)、B(0,0,5)两点距离相等的点满足的等式为________． 解析：设到A、B两点距离相等的点为P(x，y，z)，由|PA|＝|PB|， 即(x＋1)2＋(y－2)2＋(z－3)2＝x2＋y2＋(z－5)2，整理得：2x－4y＋4z－11＝0. 答案：2x－4y＋4z－11＝0 6．已知向量a＝(－1,2,3)，b＝(1,1,1)，则向量a在向量b方向上的投影为________． 解析：b·a＝(1,1,1)·(－1,2,3)＝，则a在向量b上的投影为. 答案： 7．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________． 解析：|a|＝＝3，|b|＝＝3，a·b＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4， ∴cos〈a，b〉＝＝，sin〈a，b〉＝，S平行四边形＝|a||b|sin〈a，b〉＝. 答案： 三、解答题 8．如右图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． (1)求直线AC与PB所成角的余弦值； (2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．解答：(1)如右图，建立直角坐标系A－xyz，则P(0,0,2)，B(，0,0)，C(，1,0) ∴＝(，1,0)，＝(，0，－2)，cos〈〉＝＝， 则直线AC与PB所成角的余弦值为. (2)设N(x,0，z)又E(0，，1)，∴＝(x，－，z－1)． 由＝0，得2(z－1)＝0，由＝0，得 x－＝0，解得：x＝，z＝1， 因此N点到AB和AP的距离分别为1，. 9． 如右图，点P，E，F在矩形ABCD所在平面外，PC⊥平面ABCD于C，EB⊥平面ABCD于B，FD⊥平面ABCD于D，AB＝4，BC＝2，PC＝6，BE＝DF且四边形AEPF是平行四边形． (1)建立适当坐标系，求点E、F的坐标； (2)求平面AEPF与平面PEBC所成的二面角(锐角)的大小． 解答：如右图，建立空间直角坐标系． (1)P(0,0,6)，A(4,2,0)，设BE＝DF＝m，则E(0,2，m)，F(4，0，m)， ∴＝(0,0,6)－(0,2，m)＝(0，－2,6－m)， ＝(4,0，m)－(4,2,0)＝(0，－2，m)，∵四边形AEPF是平行四边形， ∴，∴6－m＝m，即m＝3，∴E(0,2,3)，F(4,0,3)． (2)∵＝(0，－2,3)，＝(0,2,3)－(4,2,0)＝(－4,0,3)，设平面AEPF的法向量n1＝(x，y，z)， ∵n1⊥，∴(x，y，z)·(0，－2,3)＝0即－2y＋3z＝0， ∵n1⊥，∴(x，y，z)·(－4,0,3)＝0即－4x＋3z＝0. 令z＝4得y＝6，x＝3，∴n1＝(3,6,4)，显然平面PEBC的法向量n2＝(1,0,0)． ∵n1·n2＝(3,6,4)·(1,0,0)＝3，|n1|＝＝，|n2|＝1， ∴cos〈n1，n2〉＝＝＝， ∴平面AEPF与平面PEBC所成的二面角(锐角)的大小是arccos . 10．如右图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点． (1)求异面直线AE