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6-3二元一次不等式(组)与简单的线性规划
6.3 二元一次不等式组与简单的线性规划
一、选择题
1.点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且在不等式2x+y<3表示的平面区域内,则a的值是( )A.-3 B.3 C.7 D.-7
解析:依题意2a+3<3,∴a<0,又=4,∴a=7(舍)或a=-3,故a=-3.
答案:A
2.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的( )
解析:(x-2y+1)(x+y-3)≤0或
答案:C
3.在平面直角坐标系中,不等式组,表示的平面区域的面积是( )
A.4 B.4 C.2 D.2
解析:不等式组表示的平面区域如右图所示.S△ABC=AB·AC=4.
答案:B
4.(2009·西安调研)如右图,已知平面区域D由以A(1,3),B(5,2),C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成,若在区域D上有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=x+my取得最小值,则m等于( )A.-2 B.-1
C.1 D.4
答案:C
二、填空题
5.已知变量x,y满足约束条件,若目标函数ξ=ax+y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围为________.
解析:由约束条件表示的可行域如图所示,作直线l:ax+y=0,过(3,0)点作l的平行线l′,则直线l′界于直线x+2y-3=0与过(3,0)点与x轴垂直的直线之间,因此,-a<-,即a>.答案:
6.某实验室需购某种化工原料106千克,现在市场上有两种包装,一种是每袋35千克,价格为140元;另一种是每袋24千克,价格为120元,在满足需要的条件下,最少要花费________元.解析:如图,设购买第一种包装x袋,第二种包装y袋,由已知条件35x+24y≥106,x≥0,y≥0,则当x=1,y=3时,z=140x+120y,取到最小值500元.
答案:500
7.已知点P(x,y)满足不等式组则动点M(cos θ,sin θ)(θ∈R)到点P的距离|PM|的取值范围是________.
解析:本题考查线性规划及参数方程;据题意可知动点M(cos θ,sin θ)的轨迹方程为x2+y2=1,如图作出可行域,可知圆心到可行域内点的连线中,圆心到直线x+y=4的距离2最小,与点A(4,3)间的距离5最大,结合圆的知识可知圆上的所有的点与可行域内的距离最小值即为2-1,最大值为5+1=6.
答案:[2-1,6]
三、解答题
8.已知x2+y2在x,y取何值时取得最大值、最小值?最大值、最小值各是多少?
解答:如图所示可作出不等式组表示的区域,过原点O作OB垂直于直线2x+y-2=0,垂足为B,则x2+y2在A、B点分别取得了最大值和最小值.由得即A(2,3).
由得即B(,).
∴x2+y2的最大值和最小值分别为13,.
9.某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机,每台A型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位,而生产一台A型或B型电视机所耗原料分别为2和3个单位;所需工时分别为4和2个单位.如果允许使用的原料为100单位,工时为120单位,且A或B型电视和产量分别不低于5台和10台.应当生产每种类型电视机多少台,才能使利润最大?
解答:如图,设生产A型电视机x台,B型电视机y台,则根据已知条件,线性约束条件为即线性目标函数为z=6x+4y.
根据约束条件作出可行域如图所示,作3x+2y=0.
解方程组得
故生产两种类型电视机各20台,所获利润最大.
10.有一批钢管,长度都是4 000 mm,都要截成500 mm和600 mm 两种毛坯,且这两种毛坯数量比大于配套.怎样截最合理(即损耗最小)?
解答:设要截成500 mm、600 mm两种毛坯各x根、y根,则线性约束条件为
即线性目标函数u=500x+600y,如图作出可行域,可观察出目标函数在A(2,5)处取得最大值.即截出500 mm,600 mm的两种毛坯分别为2根,5根最为合理.
1. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M,使函数y=ax(a0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( )
A.[1,3] B.[2,] C.[2,9] D.[,9]
解析:区域M是三条直线相交构成的三角形(如图),显然a1,只需研究过(1,9)、(3,8)两种情形,a1≤9且a3≥8即2≤a≤9.答案:C2.甲、乙两地生产某种产品,它们可调出的数量分别为300 t,750 t,A、B、C三地需要该产品数量分别为200 t,450 t,400 t,甲地运往A、B、C三地的费用分别为6元/t,3元/t,5元/t,乙地运往A、B、C三地费用分别为5元/t,9元/t,6元/t,问怎样调运,才能使总运费最省?
解答:设从甲到A调运x t,从甲
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