4-3平面向量的数量积及.ppt

(理解平面向量数量积的含义及其物理意义/了解平面向量的数量积与向量投影的关系/掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算/能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系/会用向量方法解决某些简单的平面几何问题/会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题) 1．两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则 ∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角,记作θ ，a，b．注意：当θ＝0时a 与b同向；当θ＝π时，a与b反向；当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b； 2．平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ， 则数量|a||b|cos θ叫a与b的数量积，记作a·b，即有a·b＝|a||b|·cos θ. 4．性质：两个非零向量a，b (1)a⊥b?a·b＝0. (2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|. 特别的a·a＝|a|2或|a|＝ . (3)|a·b|≤|a||b|. 5．运算律：a·b＝b·a；(λa)·b＝λ(a·b)；(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 1．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，则a与b的夹角为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．30° B．60° C．150° D．120° 解析： 答案：D 2．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－3)，则向量a与b的夹角等于(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 解析： 答案：D 3．两个非零向量a、b互相垂直，给出下列各式： ①a·b＝0；②a＋b＝a－b；③|a＋b|＝|a－b|；④|a|2＋|b|2＝(a＋b)2；⑤(a＋b)·(a－b)＝0.其中正确的式子有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析：①a·b＝0，正确，②a＋b与a－b方向不同，错误．③|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2，∴|a＋b|＝|a－b|.正确．④(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2.正确．⑤当|a|≠|b|时(a＋b)·(a－b)＝0不成立错误，故选B项． 4．(2009·江苏卷)已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝ ，则向量a和向量b的数量积a·b＝________. 解析：a·b＝|a||b|cos θ＝2 cos 30°＝3. 答案：3 向量的运算是指向量的加法、减法、实数与向量的积和向量的数量积等，向量的运算类似于实数的运算，要注意二者之间的联系和区别，有些问题从运算律到运算结果都非常类似，例如a2－b2＝(a－b)·(a＋b)等，同时要注意：①数形结合思想方法的运用；②向量加法、减法和数乘向量的结果是向量，而向量数量积的运算结果是实数． 【例1】(1)证明：(a－b)2＝a2－2a·b＋b2； (2)设a、b是夹角为60°的单位向量，求①|2a＋b|、|3a－2b|； ②〈2a＋b,3a－2b〉． 解答：(1)证明：(a－b)2＝(a－b)·(a－b)＝(a－b)·a－(a－b)·b＝a2－b·a－(a·b－b2)＝a2－2a·b＋b2. (2)①∵|2a＋b|2＝(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4|a||b|·cos60°＋1＝7， ∴|2a＋b|＝ . 同理可求|3a－2b|＝ . 2．由于两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ满足0°≤θ≤180°，所以用 【例2】已知a、b满足|a＋b|＝|a－b|，|a|＝|b|＝1，求|3a－2b|. 解答：由|a＋b|＝ |a－b|得，|a＋b|2＝3|a－b|2，即(a＋b)2＝3(a－b)2， ∴a2＋2a·b＋b2＝3(a2－2a·b＋b2)，∴8a·b＝2a2＋2b2＝2|a|2＋2|b|2＝4，即a·b＝ ， ∴|3a－2b|＝ 变式2.已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c与向量a的夹角． 解答：由已知得(a＋b＋c)·a＝a2＋a·b＋a·c＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－ ， |a＋b＋c|＝ ＝ 设向量a＋b＋c与向量a