2-9幂函数.doc

2.9 幂函数 一、 1．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是(　　)A．单调递减的偶函数 B．单调递减的奇函数 C．单调递增的偶函数 D．单调递增的奇函数 解析：∵f(x)＝x3(x∈R)，∴y＝f(－x)＝－x3在R上是单调递减的奇函数． 答案：B x 1 f(x) 1 2. (2009·安徽蚌埠)已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表： 则不等式f(|x|)≤2的解集是(　　) A．{x|－4≤x≤4} B．{x|0≤x≤4} C．{x|－≤x≤} D．{x|0＜x≤} 解析：由表知＝α，∴α＝，∴f(x)＝.∴≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4. 答案：A 3．如果幂函数y＝的图象不过原点，则m的取值是(　　) A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2 C．m＝2 D．m＝1 解析：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数． ∴幂函数y＝中的系数m2－3m＋3＝1，∴m＝2或1. 又y＝的图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或1. 答案：B 4．(2009·辽宁大连调研)幂函数，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m的值为(　　) A．m＝2 B．m＝－1 C．m＝－1或2 D．m≠ 解析：因为为幂函数，所以m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3在(0，＋∞)上为减函数． 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1 (x≠0)在(0，＋∞)上为常数函数，应舍去． ∴m＝2满足题意．故选A. 答案：A 二、填空题 5．设函数f1(x)＝，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1{f2[f3(2 007)]}＝________. 解析：f1{f2[f3(x)]}＝f1[f2(x2)]＝f1(x－2)＝＝x－1，∴f1{f2[f3(2 007)]}＝2 007－1. 答案：2 007－1 6．(2010·江苏无锡调研)幂函数y＝f(x)的图象经过点，则满足f(x)＝27的x的值是________． 解析：设幂函数为y＝xα，图象经过点，则－＝(－2)α，∴α＝－3. ∵x－3＝27，∴x＝. 答案： 7．(2009·江苏)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为________． 解析：∵0＜＜1，∴指数函数f(x)＝ax在定义域内为减函数，又f(m)＞f(n)，∴m＜n. 答案：m＜n 三、解答题 8．求函数y＝ (m∈N)的定义域、值域，并判断其单调性． 解答：∵m2＋m＋1＝m(m＋1)＋1必为奇数，且m2＋m＋1＝2＋＞0， ∴函数的定义域为R，类比y＝x3的图象可知，所求函数的值域为R， 在(－∞，＋∞)上所求函数是单调递增函数． 9．已知f(x)＝ (n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)＞f(x＋3)． 解答：由条件知＞0，即－n2＋2n＋3＞0，解得－1＜n＜3.又n＝2k，k∈Z，∴n＝0,2. 当n＝0,2时，f(x)＝.∴f(x)在R上单调递增．∴f(x2－x)＞f(x＋3)转化为x2－x＞x＋3. 解得x＜－1或x＞3.∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 10．已知幂函数y＝的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求整数n的值并画出该函数的草图． 解答：∵函数图象与x、y轴都无公共点． ∴n2－2n－3≤0－1≤n≤3. 又∵n为整数，∴n∈{－1,0,1,2,3}． 又图象关于y轴对称，∴n2－2n－3为偶数． ∴n＝－1,1,3. 当n＝－1和3时，n2－2n－3＝0，y＝x0图象如图(1)所示； 当n＝1时，y＝x－4，图象如图(2)所示． 1．幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么，αβ＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．无法确定 解析：解法一：由条件得M，N，由一般性，可得＝α，＝β，即.所以 解法二：由解法一，得＝α，＝β，则αβ＝α＝a＝，即αβ＝1. 答案：A 2．已知函数f(x)＝的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，则最小的自然数a等于________． 解析：∵f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠0}，∴1－a0，即a1. 又∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴1－a＝－2，即a＝3. 答案：3