2-10变化率与导数 导数的计算.doc

2.10 变化率与导数 导数的计算 一、 1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．2(x2＋a2) 解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)． 答案：C 2．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是(　　) A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 解析：本小题主要考查导数与曲线斜率的关系．设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为2x0， 由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 答案：D 3．设f(x)、g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是(　　) A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3) 解析：考查导数的应用及函数的性质． ∵[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，∴由题意知，当x＜0时，[f(x)g(x)]′＞0. ∴f(x)g(x)在(－∞，0)上是增函数．又g(－3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0. ∴x∈(－∞，－3)时，f(x)g(x)＜0；x∈(－3,0)时，f(x)g(x)＞0. 又∵f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数， ∴f(x)g(x)在R上是奇函数，其图象关于原点对称． ∴当x＞0且x∈(0,3)时，f(x)g(x)＜0.综上，应选D项． 答案：D 4．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 005(x)等于(　　) A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x 答案：C 二、填空题 5．已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f＝________. 解析：由已知：f′(x)＝f′cos x－sin x. 则f′＝－1，因此f(x)＝－sin x＋cos x，f＝0. 答案：0 6．曲线y＝ln x在与x轴交点的切线方程为__________． 解析：由y＝ln x得，y′＝，∴y′|x＝1＝1， ∴曲线y＝ln x在与x轴交点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0 7． 幂指函数y＝f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得ln y＝g(x)ln f(x)，两边求导得＝g′(x)ln f(x)＋g(x)，于是y′＝f(x)g(x)·.运用此方法可以探求得知y＝x(x0)的一个单调递增区间为________． 解析：由(x0)得：ln y＝ln x，＝－ln x＋. 则由y′0，即1－ln x0，解得0xe，因此 (x0)的一个单调递增区间为(0，e)． 答案：(0，e) 三、解答题 8．求下列函数的导数： (1)y＝xe1－cos x；(2)y＝xcos x－sin x；(3)y＝sin xcos x；(4)y＝x2ex；(5)y＝(＋1)(－1)；(6)y＝x(1＋|x|)． 解答：(1)∵y＝xe1－cos x，∴y′＝e1－cos x＋xe1－cos x(sin x)＝(1＋xsin x)e1－cos x. (2)∵y＝xcos x－sin x，∴y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. (3)∵y＝sin xcos x＝sin 2x，∴y′＝(cos 2x)·2＝cos 2x. (4)∵y＝x2ex，∴y′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex. (5)∵y＝＝－＝ (6)∵y＝x(1＋|x|)＝x(1＋)，∴y′＝1＋|x|＋x＝ 9．已知a、b为实数，且b＞a＞e，求证：ab＞ba. 证明：考查函数y＝，x∈(e，＋∞)，y′＝，当x＞e时，则y′0， ∴函数y＝在(e，＋∞)上递减，又bae，∴， 即a ln bb ln a，ln baln ab，因此abba. 10．利用导数证明：C＋2C＋3C＋…＋nC＝n·2n－1. 证明：(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn.∴[(1＋x)n]′＝C＋2Cx＋…＋nCxn－1， 即n(1＋x)n－1＝C＋2Cx＋…＋nCxn－1，令x＝1，则C＋2C＋…＋nC＝n·2n－1. 1.设函数f(x)是定义域在R上周期为2的可导函数,若f(2)=2,且＝－2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是(　　)A．y＝－2x＋2 B．y＝－4x＋2