2-7指数与指数函数.doc

2.7 指数与指数函数 一、选择题 1．函数y＝0.3|x|(x∈R)的值域是(　　) A．R＋B．{y|y≤1}C．{y|y≥1}D．{y|0y≤1} 解析：y＝0.3|x|∈(0,1]，故选D. 答案：D 2．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有(　　) A．f()f()f() B．f()f()f() C．f()f()f() D．f()f()f() 解析：由已知条件f(x)＝f(2－x)．∴f()＝f()，f()＝f()． 又x≥1时，f(x)＝3x－1，则f(x)在(1，＋∞)上递增 ∴f()f()f()，即f()f()f()． 答案：B 3. 设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：如图所示．由1x2，可知1x38；－1＜x－2＜0， 1()x－22.答案：B 4．函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是(　　)A．a1，b0 B．a1，b0 C．0a1，b0 D．0a1，b0 解析：由右图得函数是减函数，∴0a1.又分析得，图象是由y＝ax的图象向左平移所得，∴－b0，即b0.从而D正确．答案：D二、填空题 5．若3a＝0.618，a∈[k，k＋1)，k∈Z，则k＝________. 解析：∵3－1＝，30＝1，＜0.6181，∴k＝－1. 答案：－1 6. 已知＝(a0)，则＝________.解析： 答案：3 7．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 解析：曲线|y|＝2x＋1即为y＝2x＋1或y＝－(2x＋1)，作出曲线的图象(如图)，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，须－1≤b≤1.答案：－1≤b≤1 三、解答题 8．设函数f(x)＝2|x＋1|－|x－1|，求使f(x)≥2的x的取值范围． 解答：y＝2x是增函数，f(x)≥2等价于|x＋1|－|x－1|≥.① (1)当x≥1时，|x＋1|－|x－1|＝2，∴①式恒成立． (2)当－1x1时，|x＋1|－|x－1|＝2x，①式化为2x≥，即≤x1. (3)当x≤－1时，|x＋1|－|x－1|＝－2，①式无解．综上，x取值范围是[，＋∞)． 9．已知f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x(e＝2.718 28…) (1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；(2)若f(x)f(y)＝4，g(x)g(y)＝8，求的值． 解答：(1)[f(x)]2－[g(x)]2＝(ex－e－x)2－(ex＋e－x)2＝(e2x－2＋e－2x)－(e2x＋2＋e－2x)＝－4. (2)f(x)f(y)＝(ex－e－x)(ey－e－y)＝ex＋y＋e－x－y－ex－y－e－x＋y＝[ex＋y＋e－(x＋y)]－[ex－y＋e－(x－y)]＝g(x＋y)－g(x－y)，∴g(x＋y)－g(x－y)＝4① 同理，由g(x)g(y)＝8，可得g(x＋y)＋g(x－y)＝8，② 由①②解得g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2，∴＝3.10．已知函数f(x)＝. (1)证明f(x)是奇函数； (2)求f(x)的单调区间； (3)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明． 解答：(1)证明：函数f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称， 又f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． (2)解法一：设x1＜x2，x1，x2∈(0，＋∞)， ∴f(x)在(0, ＋∞)f(x)是奇函数, ∴f(x)在(－∞0)也是单调递增, ∴f(x)的单调递增区间为(－∞0)和(0, ＋∞) f(x)0. ∴f(x)的单调递增区间为(－∞0)和(0, ＋∞)(3)算得f(4)－f(2)g(2)＝f(9)－f(3)g(3)＝x有 1．设函数f(x)＝(a0，且a≠1)，[m]表示不超过实数m的最大整数，则函数g(x)＝[f(x)－]＋[f(－x)－]的值域是________． 解析：∵f(x)＝＝1－，∴f(－x)＝＝.∴[f(x)－]＋[f(－x)－] ＝[－]＋[－]，即[m]＋[－m]．∴当m为整数时，值为0；当m为小数时，值为－1.故所求值域为{－1,0}． 答案：{－1,0} 2．已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)． (1)证明函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根． 证明：(1)设－1＜x1＜x2，f(x2)－f(x1)＝ ＝＋－＝＋ ＝＋. ∵x2