2-5函数的方程.doc

2.5 函数与方程 一、 1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是(　　) 解析：图A没有零点，因此不能用二分法求零点．图B的图象不连续．图D在x轴下方没有图象，故只有C图可用二分法求零点． 答案：C2．函数f(x)＝ln x－的零点的个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：本题考查了学生的画图能力，构造函数等方法．这种题型很好地体现了数形结合的数学思想．构建函数h(x)＝ln x，g(x)＝，f(x)的零点个数即h(x)与g(x)交点的个数．画出图象可知有两个交点. 选C. 答案：C 3．下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是(　　) A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5 C．f(x)＝mx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6 解析：对选项D，∵f(1)＝e－30，f(2)＝e20，∴f(1)f(2)0. 答案：D 4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 解析：本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系．由于函数f(x)是连续的，故只需两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x＝±1，只需f(－1)f(1)0，即(a＋2)(a－2)0，故a∈(－2,2)． 答案：A 二、填空题 5．已知方程2x－1＋2x2－a＝0有两根，则a的范围是________________． 解析： ，在同一坐标系内作函数y=2x-1和y=－x2+a的图象，如右图．要使方程有两根，必须两个函数的图象有两个交点．由于函数y=2x-1的图象与y轴的交点是(0, )，所以，当a=时，抛物线的顶点与指数函数在y轴的交点重合；当a时，它们必有两个交点． 答案： 6．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则方程f(x)＝0 7. x0是方程ax=logax(0＜a＜1)的解，则x0,1，a这三个数的大小关系是　　　　. 解析：在同一坐标系中作出函数y=ax和y=logax的图象， 可以看出：x0＜1，logax0＜1，∴x0＞a，∴a＜x0＜1. 答案：a＜x0＜1 三、解答题 8．设f(x)在[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线，且0≤f(x)≤1.证明：至少有一点c∈[0,1]，使f(c)＝c. 证明：如果f(0)＝0或f(1)＝1，就取c＝0或c＝1即可． 现设f(0)0，f(1)1.令F(x)＝f(x)－x，则F(x)在[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线． ∵F(0)＝f(0)－00，F(1)＝f(1)－10，∴F(0)·F(1)0，∴至少有一点c∈(0,1)， 使F(c)＝0，即f(c)＝c.综上所述，在每种情形都至少有一点c∈[0,1]，使f(c)＝c成立． 9．已知a、b是不全为0的实数，求证：方程3ax2＋2bx－(a＋b)＝0在(0,1)内至少有一个根． 证明：若a＝0时，则b≠0，此时方程的根为x＝，满足题意． 当a≠0时，令f(x)＝3ax2＋2bx－(a＋b)． (1)若a(a＋b)0，则f(0)·f ＝－(a＋b)·＝a(a＋b)0， 所以f(x)＝0在区间内有一实根． (2)若a(a＋b)≥0，则f f (1)＝(2a＋b)＝－a2－a(a＋b)0， 所以f(x)＝0在区间内有一实根．综上f(x)＝0在区间(0,1)内至少有一根． 10．对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0) (1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点； (2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围； 解答：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，由题意可知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3 故当a＝1，b＝－2时，f(x)的不动点－1,3. (2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有两个不动点，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1， 即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两相异实根，∴Δ＝b2－4ab＋4a＞0(b∈R)恒成立． 于是Δ′＝(4a)2－16a＜0解得0＜a＜1，故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1. 1．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋3)＝f(x＋1)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y ＝log5x的图象交点的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：由f(x＋3)＝f(x＋1)知f(x＋2)＝f(x)故f(x)是周期为2的函数