2-4函数图象.doc

2.4 函数图象 一、 1．已知f(x)＝则函数y＝f(－x)的图象是(　　) 解析：当x＝0时，y＝f(－0)＝f(0)＝1，可排除A；当x＝1时，y＝f(－1)＝－1＋1＝0，可排除C、D. 答案：B 2．函数y＝ln cos x(－x)的图象是(　　) 解析：本小题主要考查复合函数的图像识别．y＝ln cos x(－x)是偶函数，可排除B、D，由cos x≤1ln cos x≤0排除C，选A. 答案：A 3．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x＝t截这个三角形位于此直线左方的图形面积(见图中阴影部分)为y，则函数y＝f(t)的大致图形为(　　) 解析：易知表示图形面积的曲线关于点(1，)对称，故可排除A、B两项；又阴影部分面积在[0,1]上的增加速度越来越快，故曲线应先缓后陡；同理在[1,2]上曲线应先陡后缓．也可求出函数解析式 f(t)＝后进行判断． 答案：D 4．(2009·安徽)设a＜b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是(　　) 解析：由已知条件可知： x (－∞，a) a (a，b) b (b，＋∞) y － 0 － 0 ＋ 答案：C 二、填空题 5．若函数f(x)在区间[－2,3]上是增函数，则函数f(x＋5)的单调递增区间是________． 解析：∵f(x＋5)的图象是f(x)的图象向左平移5个单位得到的． ∴f(x＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2]． ：[－7，－2] 6．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)cos x＜0的解集是__________________________________________________． 解析：∵f(x)是(－3,3)上的奇函数， ∴f(x)＞0的解集是(－1,0)∪(1,3)，f(x)＜0的解集是(－3，－1)∪(0,1)． 又在(－3,3)上cos x＞0的解集是(－，)， cos x＜0的解集是(－3，－)∪(，3)， ∴f(x)cos x＜0或解得－＜x＜－1或0＜x＜1或＜x＜3. 答案：(－，－1)∪(0,1)∪(，3) 7．设f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是__________． 解析：在同一坐标系中，作出y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的图象如图所示，可观察出当x＝0时函数f(x)取得最大值6. ：6 三、解答题 8．已知函数y＝f(x)的定义域为R.求证： (1)若等式f(x－a)＝f(a－x)对一切x∈R恒成立，那么y＝f(x)的图象关于直线x＝0成轴对称(a是不等于零的常数)； (2)函数y＝f(x－a)与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝a成轴对称． 证明：(1)令t＝x－a，则a－x＝－t，由x∈R，得t∈R， ∴f(t)＝f(－t)对一切t∈R恒成立．故f(x)是偶函数，其图象关于y轴即直线x＝0成轴对称． (2)设P(x0，y0)是函数y＝f(x－a)的图象上任意一点，P关于直线x＝a的对称点为P′(x′，y′)，显然y0＝y′，由中点坐标公式不难求得x′＝2a－x0，由P点在y＝f(x－a)的图象上，得y0＝f(x0－a)，则f(a－x′)＝f[a－(2a－x0)]＝f(x0－a)＝y0＝y′.即对称点P′(x′，y′)的坐标满足函数解析式y＝f(a－x)，故函数y＝f(x－a)图象上任一点关于直线x＝a的对称点必在函数y＝f(a－x)的图象上；同理，函数y＝f(a－x)图象上任意一点关于直线x＝a的对称点也在函数y＝f(x－a)上．∴函数y＝f(x－a)与y＝f(a－x)的图象关于直线x＝a成轴对称． 9．利用函数图象讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数． 解答：设y＝|1－x|，y＝kx，则方程的实根的个数就是函数y＝|1－x|的图象与y＝kx的图象交点的个数． 由右边图象可知： 当－1≤k＜0时，方程没有实数根； 当k＝0或k＜－1或k≥1时，方程只有一个实数根； 当0＜k＜1时，方程有两个不相等的实数根． 10．已知函数f(x)＝，g(x)＝x＋2，若方程f(x＋a)＝g(x)有两不同实根，求a的取值范围． 解答：y＝f(x＋a)＝ 方程可化为　即 ∴函数y＝f(x＋a)的图象为以(－a,0)为圆心，半径为1的圆在x轴上和x轴上方的部分，如图．设过(－2,0)点和与直线相切的半圆方程分别为y＝f(x＋a1)和y＝f(x＋a2)， 则可求出a1＝1，a2＝2－. 由图象可观察出当－a1≤－a＜－a2，即a2＜a≤a1时，y＝f(x＋a)的图象与y＝g(x)的图象有两个不同交点，即2－＜a≤1时，方程f(x＋a)＝g(x)有两个不同的实根． 1．甲、