2-1函数的概念及表示.ppt

了解构成函数的要素/了解映射的概念，会求一些简单函数的定义域和值域/理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数/了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题 1. 函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数列与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A. 其中，x叫自变量，x的取值范围A叫做 ，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{y|y=f(x),|x∈A}叫值域． 1．已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]，那么集合{(x，y)|y＝f(x)，x∈[a，b]}∩{(x，y)| x＝x0}中所含元素的个数是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．0个 B．1个 C．0或1个 D．0或1或无数个 解析：垂直于x轴的直线与函数的图象最多只有一个交点． 答案：C 2．下列方程对应的图形，其中不是函数图象的是(　　) A．y＝|x| B．y＝|x－1|＋|x＋1| C．y＝ D．|x|＋|y|＝1 解析：D中方程当x取某值时y取值不唯一． 答案：D 3．函数f(x)＝lg 的定义域为(　　) A．[0,1] B．(－1,1) C．[－1,1] D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：由1－x20得－1x1，则函数f(x)的定义域为(－1,1)． 答案：B 4． 若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________． 解析：∵y＝ 的定义域为R， ∴对一切x∈R都有 ≥1恒成立， 即x2＋2ax－a≥0恒成立．∴Δ≤0成立，即4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0. 答案：[－1,0] 求函数表达式的主要方法有：代入法、换元法、待定系数法和消元法等．如果是求复合函数的解析式可用代入法；已知复合函数的解析式可用换元法求原来函数的解析式，特殊情况下可利用代入法和凑项法解决；如果已知函数的解析式的类型，可采用待定系数法等． 【例1】 (1)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)； (2)已知f(x)为一次函数，且f{f[f(x)]}＝8x＋7，求f(x)； (3)已知f(x)＋2f( )＝2x＋1，求f(x)． 解答：(1)解法一：设x＋1＝t，则x＝t－1，代入f(x＋1)的解析式，得 f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1＝t2＋2t－2，∴f(x)＝x2＋2x－2. 解法二：∵f(x＋1)＝x2＋4x＋1＝(x2＋2x＋1)＋2(x＋1)－2＝(x＋1)2＋ 2(x＋1)－2.用x替代x＋1，得f(x)＝x2＋2x－2. (2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，所以f{f[f(x)]}＝f[f(ax＋b)]＝f[a(ax＋b)＋b] ＝a[a(ax＋b)＋b]＋b＝a3x＋a2b＋ab＋b＝8x＋7， 所以 解得 所以f(x)＝2x＋1. (3)由已知得 消去f( )，得f(x)＝ . 变式1. (1)若f(x)＝ ，则方程f(4x)＝x的根是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－2 B．2 C．－ D. 解析：f(4x)＝ ，依题意 ＝x，解得x＝ . 答案：D 研究函数的图象和性质，要注意“定义域优先”的原则，即必须先考虑函数 的定义域、求函数的定义域通常是通过解不等式(或不等式组)完成． 【例2】求下列函数的定义域：(1)y＝