几种常见函数的导数（高三数学课件）.ppt

* 几种常见函数的 导 数 一、复习 1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践. 2.求函数的导数的方法是: 说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数. 3.函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x= x0处的函数值,即 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。 4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 5.求切线方程的步骤： （1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 二、新课——几种常见函数的导数 根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 公式1: . 公式2: . 请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握的知识,只能就 的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数. 公式3: . 要证明这个公式,必须用到一个常用极限 同理可证,公式4: . 三、例题选讲 例1:求过曲线y=cosx上点P( )且与过这点的切线垂 直的直线方程. 注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线. O A x M P y 例2:如图,质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速 运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度. 解:时刻t时,因为角速度1rad/s, 所以 . 故点M的运动方程为:y=10sint. 故时刻t时,点P在 y轴上的射影点M的速度为10cost cm/s. 例3:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条 曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线 互相垂直?并说明理由. 解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件. 由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0) =-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2. 这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点. 练习1:曲线y=sinx在点P( )处的切线的倾斜角为 ___________. 例4:已知曲线 在点P(1,1)处的切线与直线m平行且 距离等于 ,求直线m的方程. 设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得: 故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0. *