高一竞赛题及答案.doc

08级高一数学竞赛试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：刘洪伟 一、选择题（每小题5分） 1.已知全集，集合，，那么集合等于（ ） A． B． C． D． 2.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A． B． C． D． 3.已知函数，是的反函数，若（），则的值为（ ） A． B．1 C．4 D．10 4.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 5.为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 6.过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ ） A． B． C． D． 7.设，，，则( ) （A） （B） （C） （D） 8.将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ） 9.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 10已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A．1 B． C． D．2 11.已知函数，，与至少有一个为正数，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 作圆的弦，其中弦长为整数的共有( ) A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条 二、填空题（每小题4分） 13.已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为_______。 14.函数的反函数是__________． （1）若a＞0,则的定义域是 ; (2) 若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 . 16.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。有下列四个命题： A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过 D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满 其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．—21题每题12分，22题14分） 17.．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝，D 是A1B1 中点． （1）求证C1D ⊥平面A1B ； （2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 ⊥平面 C1DF ？并证明你的结论． 18．设有关于的一元二次方程． （Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率． （Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 19．如图，表示电流强度I与时间t的关系式在一个周期内的图象 ⑴试根据图象写出的解析式； ⑵为了使中t在任意一段 秒的时内I能同时取最大值|A|和最小 值－|A|，那么正整数的最小值为多少？ 20．已知奇函数的定义域为实数集，且在上是增函数，当 时，是否存在实数，使对所有的恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由 21 .已知直线：mx-y=0 ，：x+my-m-2=0 （1）求证：对m ∈R，与 的交点P在一个定圆上； （2）若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当m在实数范围内取值时，Δ面积的最大值及对应的m 22.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示． (Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=； 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=； (Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ (注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天)