（精品课件）微分方程复习---27.ppt

* 　　1. 微分方程 含有自变量、未知函数和未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程． 注意: 微分方程分为常微分方程与偏微分方程,若微分方程中含有偏导数就称为偏微分方程.本章我们只介绍常微分方程. 微分方程的基本概念 2.微分方程的阶 微分方程中所含未知函数的导数或微分的最高阶数,叫做微分方程的阶. 例 与 为一阶微分方程. 为二阶微分方程. 一阶微分方程的一般形式为 或 为 阶微分方程. 3.微分方程的解 如果把某函数以及它的导数代入微分方程,能使方程成为恒等式,那么这个函数就叫做微分方程的解. (1)通解 含有独立的任意常数,且常数的个数与微分方程的阶数相同的解,叫做微分方程的通解. 例如 为 的通解 为 的通解 (2)特解 在通解中,利用已知条件(或初始条件)求出任意常数所应取的确定数值,所得的解叫做微分方程的特解. 4.初始条件 给定的条件或由实际问题确定的已知条件． 解 例5-4 验证函数 是微分方 程 的解,并求满足初始条件 的特解. 5、解微分方程 寻求微分方程 的解的过程称为解微分方程。 所以 故 是原方程的解. 把初始条件 代入 所以,所求特解为 得 形如 的方程称为可分离变量的微分方程 即等式右端的函数可分解成 的函数与 的函数相乘的形式. (2) 两边积分 即得微分方程的通解. 解法 (1) 将方程改写成变量分离形式 解 分离变量,可化原方程为 两端积分 例5-6 求微分方程 的通解 得 整理 记 ,则本例所求的通解为 1、 解： 所以方程的通解为 求解下列微分方程： 为二阶常系数线性齐次微分方程 特征方程 特征根 求解二阶常系数齐次线性微分方程的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,按下表写出方程的通解. ( 4) 若问题要求出满足初始条件的特解,再把初始条件代入通解中,即可确定 、 ,从而获得满足初始条件的特解. 例5-13 求下列方程的通解 解 (1)特征方程为 所以方程的通解为 解得 *