三角形的五心欧拉线的相关知识及证明.docVIP

三角形的五心欧拉线的相关知识及证明.doc

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三角形的五心欧拉线的相关知识及证明

三角形的五心 欧拉点:三个顶点到垂心连线的中点,又称费尔巴哈点欧拉圆:又称“九点圆”,即3个欧拉点、三边中点和三高垂足九点共圆三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM,设AM交OH于点G’   ∵ BD是直径   ∴ ∠BAD、∠BCD是直角   ∴ AD⊥AB,DC⊥BC   ∵ CH⊥AB,AH⊥BC   ∴ DA‖CH,DC‖AH   ∴ 四边形ADCH是平行四边形   ∴ AH=DC   ∵ M是BC的中点,O是BD的中点   ∴ OM= 1/2DC   ∴ OM= 1/2AH   ∵ OM‖AH   ∴ △OMG’ ∽△HAG’   ∴AG’/MG’=AH/MO=2/1   ∴ G’是△ABC的重心   ∴ G与G’重合 ∴ O、G、H三点在同一条直线上已知:ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F   求证:CF⊥AB   证明:   连接DE   ∵∠ADB=∠AEB=90度   ∴A、B、C、D到AB中点距离相等   ∴A、B、D、E四点共圆 (以AB为直径的圆)   同理C、D、O、E到OC中点距离相等   ∴C、D、O、E四点共圆 (以OC为直径的圆)   ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE   又∵∠ABE+∠BAC=90度   ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB已知:ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。求证:F为AB中点。 证明:根据燕尾定理,SAOB=S△AOC,又SAOB=S△BOC,S△AOC=S△BOC,再应用燕尾定理即得AF=BF已知:有一△ABCF是AB中点,E是AC中点 证明:AO=BO=CO 解:在△AFO与△BFO中 AF=BF FO=FO ∠AFO=∠BFO=90°(垂直平分线) ∴△AOF全等于△FOB(SAS) ∴AO=BO(两个三角形全等,三边对应等) 在△AOE与△ECO中 AE=EC EO=EO ∠AEO=∠CEO(垂直平分线) ∴△AOE全等于△COE(SAS) ∴AO=CO(两个三角形全等,三边对应等) ∵AO=BO(两个三角形全等,三边对应等) 又∵AO=CO(两个三角形全等,三边对应等) ∴AO=BO=CO 即O为△ABC的外接圆的圆心 有一△ABC,AO,BO为角平分线,求证OC为角平分线。 自O点作三边的垂线交三边于D,M,N,则OD=OM=ON,连接OC,则OC平分C,所以三角形三条角平分线交于一点。证明:EO=FO=DO 在△ADO与△AFO中: ∠AFO=∠ADO ∠DAO=∠FAO(角平分线)   AO=AO(公共边)   ∴△ADO与△AFO全等   ∴DO=FO(两个三角形全等,三边对应等)   在△FCO与△CEO中:   ∠CFO=∠ACEO   ∠ECO=∠FCO(角平分线)   CO=CO(公共边)   ∴△FCO与△CEO全等   ∴EO=FO(两个三角形全等,三边对应等)   ∵EO=FO(两个三角形全等,三边对应等)   又∵EO=DO(两个三角形全等,三边对应等)   ∴EO=FO=DO

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