三角形顶点绕着图形的一点旋转.docVIP

三角形顶点绕着图形的一点旋转 Ⅰ．三角形绕着矩形的对称中心旋转 原型题1：一次数学兴趣活动，小明提出这样三个问题，请你解决： （1）把正方形ABCD与等腰Rt△PAQ如图（a）所示重叠在一起，其中∠PAQ＝90°，点Q在边BC上，连接PD，求证：△ADP≌△ABQ． （2）如图（b），O为正方形ABCD对角线的交点，将一直角三角板FPQ的直角顶点F与点O重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交于点M、N，求证：OM＝ON． （3）试探究四边形ONBM的面积是一个定值，并求出这个定值． 变式1：某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD的对角线交点O旋转（如图所示）．已知AB＝8，BC＝10，图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．问：是否存在某一旋转位置，使得CM+CN等于？若存在，请求出此时DM的长；若不存在，请说明理由． 变式2：如图所示，O为矩形ABCD的对称中心，将直角三角板的指教顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交，交点分别为M、N．如果AB＝6，AD＝8，OM＝x，ON＝y，则y与x的关系是 ．（不填x的取值范围） 变式3：矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD＝2AB＝4，现有一直角三角板的直角顶点放在点O处，直角三角板的两边与矩形ABCD的边交于点E，F，如果OE＝a，用a的代数式表示出所有可能的OF的值 ． Ⅱ．三角形的顶点在矩形对角线交点上移动 原型题2．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q． （1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明； （2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想． 变式1：如图1，直角∠EPF的顶点和正方形ABCD的顶点C重合，两直角边PE，PF分别和AB，AD所在的直线交于点E和F．易得△PBE≌△PDF，故结论“PE＝PF”成立； （1）如图2，若点P在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由； （2）如图3将（2）中正方形ABCD改为矩形ABCD其他条件不变，若AB=m，BC=n，直接写出的值． 变式2：在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将一个足够大的直角三角板ROQ的直角顶点O放在对角线AC上（除A、C两点外），将三角板绕点O旋转，两直角边OQ、OR与矩形两邻边分别交于E、F两点． （1）如图1，若两直角边与边AB、BC相交，当三角板的直角顶点O与AC的中点重合时，请直接写出OE与OF的数量关系； （2）如图2，若两直角边与边AB、BC相交，当AO＝m时，请写出OE与OF的数量关系，并证明你的结论； （3）请你在图3中画出当直角三角板ROQ的直角顶点O在对角线AC上滑动时，但OE与OF的数量关系不随之改变的某一时刻的图形． 变式3：某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（①?②?③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点． （1）该学习小组成员意外的发现图①（三角板一直角边与OD重合）中，BN2＝CD2+CN2，在图③中（三角板一边与OC重合），CN2＝BN2+CD2，请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由． （2）试探究图②中BN、CN、CM、DN这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由． （3）将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图④，两直角边与AB、BC分别交于M、N，直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之间所满足的数量关系．（不需要证明） Ⅲ．三角形顶点在矩形的边上移动 原型题3．如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P． （1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由； （2）再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由． 变式：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q．BP＝x，C