数学图说字母图与合集运算.docVIP

数学月刊（3） 子母图与集?合运算 ——数学图说直?观多（1） 一、看图答问 【问】 以下四幅图?中,能表示两集?合关系的图?是 【答】 集合图用封?闭曲线围成?的区域来表?示. （B）、（C）、（D）中有未封闭?的曲线，故它们不（都）能表示集合?. 只有（A）中的A区和?B区是由封?闭曲线围成?的封闭区域?，故A和B能?分别表示集?合A和集合?B. 对于（A），区域A又封?闭在区域B?中. 它表示A是?B的子集，记作AB. 二、看图说算 我们把图（A）称作集合A?和集合B的?“子母图”. 既然A是B?的子集，那么B自然?就成了A的?“母集”. 在它们“子、母”之间，如果进行集?合的并集和?交集运算，结果如何呢?？ 看图说话，一目了然：“子、母”之间的交集?为子集A，“子、母”之间的并集?运算为母集?B. 用符号表示?即是 A∩B=A A∪B=B “子、母之交为子?，子、母之并为母?”——结论简单，图形直观，在集合的运?算中经常使?用. 三、图解致用 【例1】 解不等式|x2-x-4|2 【分析】 含绝对值符?号的不等式?，用分类讨论?法化归为两?个不等式组?分别求解. 然后求它们?的并. 【解答】 原不等式等?价于以下的?两个不等式?组 （Ⅰ） 或（Ⅱ） 【插语】 不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）都分别含有?2个一元二?次不等式（1）、（2）和（3）、 （4）. 难道你真的?要分别去解?每个一元二?次不等式吗?？ 不用啊！用集合观点?看待（1）和（2） 它们正是右?图集合中的?字母关系，不等式组（Ⅰ）就是不等式?（1）和（2）的交集. 按结论 （1）∩（2）=（2） 【续解】 不等式组（Ⅰ）简化为 x2-x-42 x2-x-60(x+2)(x-3)0 或 （Ⅲ） 或（Ⅳ） 【插语】 问题又回到?前面，我们怎样解?不等式组（Ⅲ）呢？ 再看右边的?子母图. 集合（6）是集合（5）的交集. 按结论 （5）∩（6）=（6） 【续解】 解不等式组?（Ⅲ）得x3. 解不等式组?（Ⅳ）得x-2. 故不等式组?（Ⅰ）解集为{x|x-2或x3}（下略） 【例2】 解不等式 【分析】 含二次根式?的不等式，在限定被开?方数不负的?条件下，化为不等式?组求解 【解答】 原不等式等?价于不等式?组 【插语】 不等式组中?，不等式（2）是不等式（1）的“母集”，不等式（3）是不等式（2）的母集. 子母图如右?. 因此，不等式组中?的不等式（2）和（3）都可消去. 【续解】 此不等式组?的解集为x?≥2. 故原不等式?的解集为{x|x≥2}. 【附录】 例2若变为?解不等式 则其等价不?等式组为 （Ⅴ） 不等式组（Ⅴ）中. （2）是（1）的母集，（1）是（3）的母集，（3）是空集，因此“母集”式（1），（2）均可消去，不等式组化?归为不等式?（3）. x-2x+1 其解集为空?集，原不等式无?解. 子母图如右?. 【评说】 运算的简化?是集合运算?的化简. 以解不 等式组为例?. 不等式组里?的各不等式?若在集合关?上有 母子关系时?，可将“母不等式”消去. 1