线性系统第二次大作业.doc

目录 第一章 矩阵论基础 - 1 - 1.1子空间与不变子空间 - 1 - 1.2 线性定常系统解的结构 - 1 - 第二章 控制论的相关概念 - 2 - 2.1稳定性理论 - 2 - 2.2 能控性与能观性 - 2 - 第三章 基于不变子空间的系统分析 - 3 - 3.1 不变子空间与系统的解集结构 - 3 - 3.2不变子空间与能控能观性 - 4 - 3.2.1 不变子空间与能控性 - 4 - 3.3不变子空间与卡尔曼分解 - 6 - 第四章 BIBO稳定性和李雅普诺夫稳定的关系 - 10 - 4.1 BIBO稳定的充要条件 - 10 - 4.2 李雅普诺夫稳定的充要条件 - 10 - 4.3 渐进稳定的充要条件 - 11 - 4.4 内部稳定必定BIBO稳定 - 11 - 4.5 外部稳定不一定内部稳定 - 11 - 4.6 临界稳定不一定BIBO稳定 - 12 - 4.7 特定初态的内部稳定性 - 14 - 4.8 内部稳定与BIBO稳定等价条件 - 14 - 4.9 初始状态，输入矩阵，输出矩阵对状态稳定的影响 - 15 - 第五章 总结 - 17 - 第六章 参考文献 - 18 - 第一章 1.1子空间与不变子空间 1.1.1子空间 设是数域上线性空间的非空子集则是的线性子空间的充要条件是 若 1.2.1不变子空间 设T是线性空间V的一个线性变换，又W是V的一个子空间，若对于任意都有即 则称W是线性变换T的不变子空间 考虑线性定常系统：，系统解的结构具有以下形式： 从零时刻开始 从非零时刻开始 , 其中，前一部分是零输入响应，后一部分是零状态响应，反映了线性系统的叠加原理。 在之后的分析中如果没有特别说明均在零时刻开始讨论 第二章 控制论的相关概念 2.1稳定性 李雅普诺夫稳定性 称为在是李雅普诺夫意义下稳定的，当且仅当对于每个0，存在一个依赖于和的正数，使得若，则，有 2.1.2 渐进稳定性 定义：在李雅普诺夫稳定的基础上，若在充分接近处起始的每一条运动轨迹，当时是收敛于，则称此平衡状态在是渐近稳定的。 2.1.3 BIBO稳定性 定义：输入—输出稳定，即对任意一个有界输入信号，系统的输出响应有界。BIBO稳定是零状态响应。 2.2 能控性与能观性 能控性所考察的只是系统在控制作用u(t)的控制下，状态矢量x(t)的转移情况，而与输出y(t)无关，所以只需从系统的状态方程研究出发即可。 线性连续定常系统的能控性定义： 如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间内，是系统的某一初始状态，转移到指定的任一终端状态，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统式能控的。 2.2.2能观性 能观性所表示的是输出反映状态矢量的能力，与控制作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即 如果对于任意给定的输入u，在有限的观测时间，使得根据期间的输出能唯一的确定系统在初始时刻的状态，则称状态是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，或简称是能观的。 从定义可知，能观性表示的是反映状态矢量的能力。 第三章 基于不变子 3.1 不变子空间与系统的解集结构 3.1.1零状态响应的解集是线性空间 考虑线性定常系统，设u=0时初始状态为，零输入响应的解集为 若A没有重特征值，其所有的特征值所对应的特征向量为组成n维线性空间X的一组基底 该线性空间及其子空间均为A的不变子空间。任意一个初始状态均可由线性表出即 则状态产生的零输入响应为 即是的一组基底也即零输入响应的解集构成的线性空间由A的特征值与特征向量决定存在同构映射 线性定常系统零输入响应解集具有如下特点： （1）在时刻的解为，几何上对应于状态空间中由初始状态经线性变换导出的一个变换点。基此推知, 零输入响应随时间演化的过程,几何上表现为状态空间中由初始状态点出发和由各个时刻变换点构成的一条轨迹。 （2）零输入响应即自由运动轨迹的形态,仅由系统的矩阵指数函数惟一决定。不同的系统矩阵A, 导致不同形态的矩阵指数函数,也导致了特征值与特征向量的不同,矩阵指数函数即系统矩阵A包含了零输入响应即自由运动形态的全部信息。 3.1.2特征值与特征向量对零输入响应的影响 由可知特征值对系统运动行为具有主导性的作用 特征向量对系统运动行为具有非主导性的作用如果把状态响应视为各个特征值相应运动模式的一个线性组合特征向量的影响体现在对不同运动模式的 由上两节分析可知，系统的零输入响应性能和特征值、特征向量具有直接的相关性。而对于特征值互不相同的系统而言，其n个线性无关的特征向量