复变函数与数理方程教学（吴昊）数学物理方程公式总结.docVIP

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 无限长弦的一般强迫振动定解问题 解 三维空间的自由振动的波动方程定解问题 在球坐标变换 (r=at) 无界三维空间自由振动的泊松公式 二维空间的自由振动的波动方程定解问题 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 傅立叶变换 基本性质 若则 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 拉普拉斯变换 基本性质 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三个格林公式 高斯公式： 设空间区域V是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数P,Q,R在V上具有一阶连续偏导数，则： 或 第一格林公式 设u(x,y,z),V(x,y,z)S?SV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则： 第二格林公式 设u(x,y,z),V(x,y,z)在S?SV上有一阶连续偏导数，它们在V中有二阶偏导，则： 第三格林公式 设M0，M是V中的点，v(M)=1/rMM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有： 定理1：泊松方程洛平问题 的解为： 推论1：拉氏方程洛平问题 的解为： ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 调和函数 1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在具有二阶连续偏导数；(2) 称u为V上的调和函数。 2、调和函数的性质。 性质1 设 u(x,y,z) 是区域 V 上的调和函数，则有 推论2：拉氏牛曼问题（牛曼问题解不稳定没有得到公式解） 有解的充分必要条件是： 性质2 设u(x,y,z) 是区域V上的调和函数，则有 : 性质3 : 设u(x,y,z)是区域V 上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的算术平均值，即: 其中SR是以M0为球心,R为半径的球面 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三维空间中狄氏问题格林函数 泊松方程狄氏问题为： 其中： 如果G(M,M0)满足： 则可得泊松方程狄氏解定理 定理：泊松方程狄氏解为： 其中G(M,M0)满足： 推论：拉氏方程狄氏解为： ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 平面中的三个格林公式 首先证明一个定理： 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且f(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，则： (1) 第一格林公式 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且u(x,y),v(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，则： (2) 第二格林公式 (3) 第三格林公式 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，且u(x,y)在D上有二阶连续偏导数，n为曲线的外法线方向，令： 定理：平面泊松方程洛平问题 的解为： 推论：平面拉氏方程洛平问题 的解为： 定理：平面泊松方程狄氏问题的解为： 推论：平面拉氏方程狄氏解为： 平面狄氏格林函数 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 特殊区域上狄氏问题格林函数 1．球形域内狄氏问题格林函数 格林函数为： 其中： 球域内狄式问题的解 其中： 球域上狄氏问题的解的球坐标表达式 所以： 2．上半空间狄氏问题的Green函数 所以上半空间泊松方程狄氏问题的解为： 上半空间拉氏方程狄氏问题的解为： 3．上半平面狄氏问题的Green函数 上半平面上泊松方程狄氏解 上半平面上拉氏方程狄氏解 4．圆域上泊松与拉氏方程狄氏解的GREEN函数 圆域上泊松与拉氏方程狄氏解 5．第一象限上狄氏问题的Green ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三种典型方程的基本解问题 泊松方程的基本解 的解称为泊松方程的基本解。 的基本解 特解应该为基本解与函数f的卷积 2．热传导方程柯西问题基本解 定解问题：的解，称为定解问题的基本解。 基本解为： 的卷积 3．热传导方程混合问题基本解 定解问题的解称为定解问题的基本解 定解与基本解的关系为 4．波动方程柯西问题基本解 定解问题的解 称为定解问题的基本解 基本解为： 定解与基本解的关系为： 贝塞尔函数 》 》 正、负n阶第一类贝塞尔函数   第二类Bessel函数 Bessel函数的母函数 当x为实数时可得 Bessel函数的积分表达式 当n为整数时： 贝塞尔函数的递推公式  n 阶整数阶贝塞尔函数有： 贝塞尔函数的正交性 贝塞尔函数系 定义：定积分：称为贝塞尔函数的模。 2、贝塞尔级数展开定理 定理：设在区间[0,R]上至多有有限个跳跃间断点，则f(x)在(0,R)连续点处的贝塞尔级数收