变分法原理与变分近似法.pdf

变分法原理与变分近似法 微积分的创立是 17 世纪数学最伟大的成就。17 世纪后期，数学家们同时他们也是物理 学家，在探讨用微积分解决更多的物理问题中发现了一些新的数学问题，如微分方程问题、 积分方程问题、变分问题等。历史上第一个变分问题是由牛顿提出并解决的，他在巨著《自 然科学的数学原理》（1687 年）中研究了轴向以常速运动而使运动阻力最小的旋转曲面必须 具有的形状。随后不久，伯努利在《教师学报》（1696 年）上提出了著名的最速降线问题， 引起了许多数学家的兴趣。之后，牛顿、莱布尼茨、伯努利以及他的哥哥詹姆士得到了这一 问题的正确的圆滚线解答。因此，伯努利被誉为是变分法的发明者。到了 18 世纪，经欧拉、 拉格朗日等人在这一领域的工作，逐渐形成一个解决数学物理问题的数学分支学科—变分法。 古典变分法的基本内容是确定泛函的极值及极值点。在一定条件下，确定泛函的极值点 和确定微分方程边值问题的解这两个问题是可以相互转化的。也就是说，微分方程边值问题 常常可以化为变分问题来研究，由此变分方法就成为研究微分方程边值问题的一种基本方法。 在许多力学问题中，由于数学上的困难，要获得问题的精确解一般是不容易的，甚至是不可 能的，而变分解法就是各种近似解法中很有效的方法之一。它不仅可以直接获得各种问题的 近似解答，而且是后面一章将要介绍的有限单元法等近似解法的理论基础。这种方法，就其 本质而言，是将求解的力学或物理基本微分方程的问题，化为求解某些泛函的极值(或驻值) 问题。而在具体求解问题的近似解时，又进而可将求泛函的极值(或驻值) 问题变为函数的极 值(或驻值问题)，最后将问题归结为求解线性（或非线性）代数方程组。 本章将对变分法原理和变分问题中的一些基本概念、基本方法作一些阐述。我们将着重 介绍两种变分近似法——立兹法和伽辽金法，并将它们用于求解一些简单的力学问题，以期 读者对这两种变分近似方法的求解过程有较为深刻的认识。 §1 变分的基本概念 §1.1 泛函和变分 泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数 {y (x)} 中的每一个函数y (x) ，J 有一值 与之对应，或者说数J 对应于函数y (x) 的关系成立，则我们称变量J 是函数y (x) 的泛函， 记为J J [y (x)] 。 例如，我们如果要表示两固定端点A(x A , y A ) 和B (xB ,y B ) 间的曲线长度J （如图1.1）， 则由微积分相关知识容易得到 x B 2 J ∫x A 1+(dy dx) dx （1.1） 显然，对于不同的曲线y (x) ，对应于不同的长度J ，即J 是函数y (x) 的函数，J J [y (x)] 。 y y B B y A A y y (x) o x x A B x 图 1.1 两点间任一曲线的长度 又例如，历史上最著名的变分问题之一——最速降线问题，如图 1.2 所示。设在不同铅 垂线上的两点P 与P 连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点P 自由滑落到点 1 2