双人零和博弈精选.doc

一、双人零和博弈的概念 零和博弈又称零和游戏，与非零和博弈相对，是博弈论的一个概念，属非合作博弈，指参与博弈的各方，在严格竞争下，一方的收益必然意味着另一方的损失，一方收益多少，另一方就损失多少，所以博弈各方的收益和损失相加总和永远为“零”.双方不存在合作的可能.用通俗的话来讲也可以说是:自己的幸福是建立在他人的痛苦之上的，二者的大小完全相等，因而双方在决策时都以自己的最大利益为目标，想尽一切办法以实现“损人利己”.零和博弈的结果是一方吃掉另一方，一方的所得正是另一方的所失，整个社会的利益并不会因此而增加一分. 二、双人零和博弈的模型的建立 建立双人零和博弈的模型，就是要根据对实际问题的叙述确定参与人（局中人）的策略集以及相应的收益矩阵（支付矩阵）.我们记双人零和博弈中的两个局中人为A和B;局中人A的策略集为a,…,a,局中人B的策略集为b,…,b;c为局中人A采取策略a、 局中人B采取策略b时A的收益（这时局中人B的收益为- c）.则收益矩阵见下表 表1 局中人B 局中人A 策 略 b b … b 策 略 a a … a c c ? cb c c ? cb ? ? ? c c ? c 那么下面我们通过例子来说明双人零和博弈模型的建立: 例1 甲、乙两名儿童玩猜拳游戏.游戏中双方同时分别或伸出拳头（代表石头）、或手掌（代表布）、或两个手指（代表剪刀）.规则是剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀，赢者得一分.若双方所出相同，算和局，均不得分.试列出对儿童甲的赢得矩阵. 解 本例中儿童甲或乙均有三个策略:或出拳头，或出手掌，或出两个手指，根据例子中所述规则，可列出对儿童甲的赢得矩阵见表2. 表2 甲 乙 石头 布 剪刀 石头 布 剪刀 0 -1 1 1 0 -1 -1 1 0 例2 从一张红牌和一张黑牌中随机抽取一张，在对B必威体育官网网址情况下拿给A看，若A看到的是红牌，他可选择或掷硬币决定胜负，或让B猜.若选择掷硬币，当出现正面，A赢p元，出现反面，输q元;若让B猜，当B猜中是红牌，A输r元，反之B猜是黑牌，A赢s元.若A看到的是黑牌，他只能让B猜.当B猜中是黑牌，A输u元，反之B猜是红牌，A赢t元，试确定A、B各自的策略，建立支付矩阵. 解 因A的赢得和损失分别是B的损失和赢得，故属二人零和博弈.为便于分析，可画出如图3的博弈树图. 图3中，○为随机点，□分别为A和B的决策点，从图中看出A的策略有掷硬币和让B猜两种，B的策略有猜红和猜黑两种，据此可归纳出各种情况下A和B输赢值分析的表格，见表4. 图3 表4 B A 抽到红牌（1/2） 抽到（1/2） 正面（1/2） 反面（1/2） 猜 红 猜 黑 猜红 猜黑 猜红 猜黑 掷硬币 让B猜 P -r P s -q -r -q s t t -u -u 对表4中各栏数字可以这样来理解:因让A看到红牌时或掷硬币或让B猜.若A决定选掷硬币这个策略，当出现正面，这时不管B猜红或猜黑，A都赢p元;当出现反面，不管B猜红或猜黑，A都输q元.同样A选择让B猜的策略后，他的输赢只同B猜红或猜黑有关，而与掷硬币的正反面无关.又若抽到的牌是黑牌，A的决定只能让B猜，因而掷硬币策略对A的胜负同样不起作用.考虑到抽牌时的红与黑的概率各为1/2，掷硬币时出现正反面的概率也各为1/2,故当A采取“掷硬币”策略，而B选择“猜红”策略时，A的期望赢得为: += 当A采取让B猜策略，B选择“猜红”策略时，A的期望赢得为: += 相应可求得其他策略对A的期望赢得值.由此可列出本例的收益矩阵，见表5. 表5 猜 红 猜 黑 掷硬币 让B猜 三、双人零和博弈的求解 定理1（极小极