基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟(教学版)精选.pdf

基于MATLAB 的各类混沌系统的计算机模拟 ――― 《混沌实验教学平台的设计与实现》初期报告 物电05级1A班 张丹伟 20050003101 摘要：本文利用数学软件MATLAB对Lorenz系统等六个重要的混沌模型进行数值计算，同 时模拟出各类混沌系统的独特性质，如混沌吸引子，倍周期，初值敏感性，相图，分岔图等。 通过观察和分析上述特性，加深了我们对混沌现象的理解。 关键词：混沌； 微分方程； MATLAB； 引言． 混沌探秘 混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科 学和社会科学的几乎每一个分支。1972年 12月29 日，美国麻省理工学院教授、混沌学开 创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为 《蝴蝶效应》的论文， 提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷 风，并由此提出了天气的不可准确预报性。为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！ “混沌”译自英语中 “chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌 则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。 混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的 海洋中。一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的 烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就 是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。一面旗帜在风中飘扬，一 片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为 伴。 一． 混沌的基本概念 1. 混沌: 目前尚无通用的严格的定义, 一般认为,将不是由随机性外因引起的, 而是 由确定性方程(内因)直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌。 2. 相空间: 在连续动力系统中, 用一组一阶微分方程描述运动, 以状态变量(或状态 向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。系统的一个状态用相空间的一个点表示, 通过该 点有唯一的一条积分曲线。 3. 混沌运动: 是确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动。所谓轨道高度 不稳定, 是指近邻的轨道随时间的发展会指数地分离。由于这种不稳定性, 系统的长时间行 为会显示出某种混乱性。 4. 分形和分维: 分形是 n 维空间一个点集的一种几何性质, 该点集具有无限精细的 结构, 在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质, 具有小于所在空间维数 n 的非整数 维数。分维就是用非整数维——分数维来定量地描述分形的基本性质。 5. 不动点: 又称平衡点、定态。不动点是系统状态变量所取的一组值, 对于这些值系 x t 统不随时间变化。在连续动力学系统中, 相空间中有一个点 , 若满足当0 时, 轨迹 x xt()x0 , 则称 为不动点。0 6. 吸引子: 指相空间的这样的一个点集 s (或一个子空间), 对s邻域的几乎任意一 点, 当t时所有轨迹线均趋于s, 吸引子是稳定的不动点。 7. 奇异吸引子: 又称混沌吸引子, 指相空间中具有分数维的吸引子的集合。该吸引集 由永不重复自身的一系列点组成, 并且无论如何也不表现出任何周期性。混沌轨道就运行在 其吸引子集中。 8. 分叉和分叉点: 又称分岔或分支。指在某个或者某组参数发生变化时, 长时间动力 学运动的类型也发生变化。这个参数值(或这组参数值)称为分叉点, 在分叉点处参数的微小 变化会产生不同性质的动力学特性, 故系统在分叉点处是结构不稳定的。 9. 周期解: 对于系 x  f(x ) , 当n时,若存在 x x , 则称该系 n1 n ni n i  x x 统有周期 解 。不动点可以看作是周期为1的解, 因为它满足 n1