数学本科毕业论文---Gauss整数环的主理想及其商环研究.doc

Gauss整数环的主理想及其商环研究 摘要:本文给出了Gauss整数环的若干性质,并用一种新的初等方法解决了文献[1]中猜想: Gauss整数环的商环元素个数是. :Gauss整数环;商环;素元;主理想;单位Research the Principal Ideal and Quotient Ring of Gaussian Integral Domain (Department of Mathematics,Xiaogan University 031114328) Abstract:This paper gives some proterties of Gaussian integral domain, and proves the two conjectuires of Arch.[1] with a new and elementary method. In light of the Gaussian integral domain,the number of elements of its ring of quotients is . Key words: Gaussian integral domain; quotient ring; prime element; principal ideal;unit. 1 介绍 在文献[1]中,提出两个猜想 :(1) Gauss整数环的商环元素个数是;(2) 对于,显然为素元,问形式的素元是否为无穷多.文献[1]证明了:对 (或)以及但任意(或但任意)的情形有的.近期有关Gauss整数环的商环所含都讨论了这个问题,并得到了很好的结果,即︱︱=表示由所生成的主理想.本文以一种新的初等的方法明确了的,为了解决上述两个猜想,首先给出Gauss整数环的一些相关定义. 我们用表示集合的元素个数，的范数用来表示，表示Gauss整数环中的元素的共轭. 下面给出Gauss整数环的一些相关定义： 设表示整数环，表示虚数单位，则高斯整数环是指一切形如 ()的复数关于数的普通加法与乘法作成的环, 高斯整数环中的元素称为高斯整数.因此我们有以下定义： 定义1 设Z表示整数环,则环称为Gauss. 定义2 若环的非空子集满足下面条件: （1）是一个子加群； （2） 对任意, ,元素都在中. 此时我们称是环的一个理想. 定义3 我们称环(/,+,.)为环关于理想的商环,其中 /,={ ,} )+)= ().(b+)= 定义4 设为的一个主理想. 2 Gauss整数环有下列显然的基本性质: 命题1 的单位(可逆元)是. ， 可逆，则 两边取模得到 由于，，故，于是 ，或，或，或 即的单位(可逆元)是. 2 是欧氏环,因而是主理想环和唯一分解环 [3]中.中的素元当且仅当是不可约元。 证明 设为中的不可约元，并有（），由命题2知： ，使得令,因为是Z[i]的不可约元，故中必有一个是单位。 若是单位，则即 若是单位，由故可设 ，于是则，由 于|及|，所以|,因此是中的素元。 反之，设是z[i]的素元，若,则有|或|,不妨设|，可设,故，由是无零因子环，所以有，即得是单位，故是不可约的。 命题 设，如果是z中的素数，则是Z[i]的素元；若是Z[i]中的素元则也是中的素元。 证明　设,由是Z[i]中的素数，若是Z[i]中的可约元，可设均不是Z[i]中的单位，由均不为1，与是Z[i]中的素数矛盾，所以是Z[i]中的不可约元， 由命题3知是z[i]中的素元。 设，则 由可约可知可约，因此是Z[i]中的素元，则也是。 命题 设是Z[i]中的素数且,当且仅当P中Z[i]中的可约元。 由文献[5]中的高斯平方和定理即知命题5成立。 3 商环 定理1 　，这里记，则元素z所在的陪集记为:，简记为 引理1［３］ 设是环的一个理想，则，即的充分必要条件是 定理1的证明 当时，下证这个数在不同的陪集中，即 ,对,有，即 设，有 对任何, ,令 即对任何0c都有 (反证法)假设，则有 　　　　　　　　　　　　　 由(2)式及得 m|ny, n|mx 故， 令并将其代入得 即再代入(1)式得 与上式0c矛盾 当时有成立 下证:对任意,必存在整数且 使得 或 等式两边同乘以得 = = = = 其中 在陪集中 即 引理 设是一个环,与都是的理想,则,由环的第二同态基本定理得 对Gauss整数环,主理想 若,则 且 = 若主理想 则显然且有 下证: 在中选取个元素: 其中