数学毕业论文--特殊的积分不等式及其在高等数学中的应用.doc

特殊的积分不等式及其在高等数学中的应用 肖静静 (数学科学学院，2006(4)班) [摘 要]积分不等式在高等数学中有着广泛的应用，并已经得到了很多深刻的研究结果，本文分别针对Putnam积分不等式, Chebyshev 积分不等式,Kantorovich积分不等式和Gronwall积分不等式这四类积分不等式展开讨论，观察它们的证明及其推论以及它们在高等数学中的应用，力图进一步明确积分不等式与高等数学的密切联系，为高等数学的教学与研究提供新的素材与方法. [关键词]积分不等式 高等数学 应用 积分不等式在高等数学中有着重要的应用，因而得到大量的研究，并且取得了许多有价值的研究成果，但是以前对不等式的研究多局限于几种常见的积分不等式，而且对积分不等式在高等数学中的应用的研究较少，针对这些情况，本文着重对Putnam积分不等式、Chebyshev 积分不等式、Kantorovich积分不等式和Gronwall积分不等式展开讨论，并对其在高等数学中的应用展开更为深入细致的研究,以期为高等数学教学与研究提供新的素材和方法. 一、Putnam不等式 （一）Putnam不等式的证明及其推论 定理1 设是上的可微函数且当时，则有 证 令 =- 因为,故我们只要证在（0，1）内，事实上 由微分中值定由题设，故 因为要证明 ， 从而要证明 ， 记 那么 因此因此我们得到从而命题成立，证毕. 我们可以把这个命题作如下推广. 推论1 设是上的可微函数,且当时则 其中为常数. 证 令 有 ， 故我们只要证明 ， 而这等价于，由上面的定理1知这是成立的，故推论得证. 注1 如果，那么命题中的不等式取反号，这可以从上面的推论1证明中看出. （二）Putnam不等式在高等数学中的应用 例1 证明 证 令 , 可利用Putnam不等式得， 不等式右边整理后可得 因此 例2 证明 . 证 令 因为是上的可微函数，且当时，，， 则可利用Putnam不等式得 不等式右边整理后得 则 不等式两边同乘以8得 注2 Putnam不等式常用于证明高等数学中满足下列条件的积分不等式 （1）被积分的函数在上是可微的； （2）时，有且. 二、Chebyshev不等式  （一）Chebyshev不等式的证明 定理2 设在上是连续函数，并设是正的，而 在上式单调增加的，则有下列的Chebyshev不等式 （1） 由单调性，有 对积分得 ， 将不等式展开 ， 两边同乘并对积分得 将变量换成表示得 证毕. 注3 如果都是单调减少的，上面的不等式（1）要变号. （二）Chebyshev不等式在高等数学中的应用 例3 设在上连续，单调减少， 证 取 即 即 注4 若取由于单调性相反，利用不等式时不等号方面要改变符号. 例4 证明 证 由于在上单调性相同，故由不等式得 即 （2） 即 （3） 联立(2)(3)即得 注5 Chebyshev不等式在证明高等数学中的积分不等式问题时要注意下列三点： (1) 若积分不等式中已含有形如的式子，则要在给定的区间上是连续函数,是正的且在给定的区间上单调性相同，则可利用Chebyshev不等式进行证明; (2) 若积分不等式中未含有形如的式子，有的积分不等 可通过人为的构造出含有该形式的式子，使其满足（I）Chebyshev不等式进行证明; (3) 对于形如的式子，注意在给定区间上同时 调增加和同时单调减少两种情况下，利用Chebyshev不等式进行证明