数值分析课程设计(求解线性方程组).doc

数值分析 课程设计 求解线性方程组 作者姓名: 学号: 指导教师 学院名称 理 学 院 信息与计算科学 2012年6月 一、 问题的提出 分别用SOR方法和高斯消元的LU分解算法（lii=1, i=1,…,n）求解给定的线性方程组AX=B, 以感受迭代法和直接法的不同特点。 二、 实验内容 自定义函数 SOR(A, B, w, MAXN, TOL)，以实现SOR方法求解线性方程组AX=B，其中 A——系数矩阵； B——常数列向量； w——松弛因子； MAXN——迭代的最大次数 TOL——达到的精度上限 返回值有以下四种可能： -2：SOR方法不收敛；（不收敛的依据为的某个分量值超出区间[-108, 108]。） -1：矩阵有一列全为0； 0：算法经过MAXN次迭代还未收敛； k：SOR方法经k次迭代收敛，求得方程组的解向量X记录下来. 自定义函数Direct(A, B)，以实现高斯LU分解的方法求解线性方程组AX=B，其中 A——系数矩阵； B——常数列向量； 返回值有两种可能： “LU decompsition failed.”：分解过程中U的对角线元素至少一个为0； X：分解过程中 分别使用步骤1中定义的函数SOR(A, B, w, MAXN, TOL)和步骤2中定义的函数Direct(A, B)进行测试，记录返回值及X值（算法收敛或有效的情形, 保留4位小数）: 测试1： MAXN =1000，TOL =10-9，w分别取1， 1.05， 1.1， 1.2， 1.3， 1.6， 1.95； 测试2： MAXN =1000，TOL =10-9，w=1； 测试3： MAXN =1000，TOL =10-9，w=1.2； 测试4： MAXN =1000，TOL =10-9，w=1， 1.1， 1.3， 1.8； 测试5：: n阶Hilbert矩阵定义为 取n=3, MAXN =1000，TOL =10-9，w=1, 1.3, 1.6, 1.9; 测试6：A为4阶Hilbert矩阵，MAXN =10000，TOL =10-6，w=1, 1.3, 1.6, 1.8, 1.9. 三、实验结果及分析 （一） SOR方法 1. SOR法分析： （1）利用高斯SOR法可得迭代公式: X1(k+1)=(1-w)X1(k)-w/4(-X2(k)-X4(k)) X2(k+1)=(1-w)X2(k)-w/4(-X1(k+1)-X3(k)-X5(k)-5) X3(k+1)=(1-w)X3(k)-w/4(-X2(k+1)-X6(k)) X4(k+1)=(1-w)X4(k)-w/4(-X1(k+1)-X5(k)-6) X5(k+1)=(1-w)X5(k)-w/4(-X2(k+1)-X4(k+1)-X(k+1)+2) X6(k+1)=(1-w)X6(k)-w/4(-X3(k)-X5(k)-6); 将松弛系数w的不同德值代入计算出X的值。 利用迭代使|X(k+1)-X(k)|e(e为精度，e=10^(-9))。 （2）由于矩阵出现了，一列为0，所以不能使用迭代，在程序中会出现r=-1. （3）X1(k+1)=(1-w)X1(k)-w/3(-X2(k)+3X3(k)) X2(k+1)=(1-w)X2(k)-w/6(3X1(k+1)+3X3(k)) X3(k+1)=(1-w)X3(k)-w/3(3X1(k+1)+3X2(k+1)) 利用迭代使|X(k+1)-X(k)|e(e为精度，e=10^(-9))。 （4）将方程组变为： X1+0X2+2X3+0X4+3X5+0X6+4X7=3 3X1-1X2+0.5X3+8X4+2.2X5+1.6X6+0X7=8 3X1+3X2+0.5X3+12.5X4+5.4X5+3.6X6+X7=10 5X1+2X2+5.5X3+8X4+2.2X5+1.6X6+3.3X7=12 X1-4X2-1.5X3+9X4+2.2X5+1.6X6+3.3X7=9 5.5X1+3.5X2+0.5X3+8X4+3.2X5+1.6X6+0X7=6 -0.5X1-1.5X2+3X3+2X4+0X5+X6-X7=5 迭代公式为： X1(k+1)=(1-w)X1(k)-w(2X3(k)+3X5(k)+4X7(k)-3) X2(k+1)=(1-w)X2(k)+w(3X1(k+1)+0.5X3(k)+8X4(k)+2.2X5(k)+1.6X6（k）W=1的时候: （2）W=1.05的时候: （3）W=1.1的时候: （4）W=1.2的时候