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3.2圆的对称性(一)
3.2圆的对称性----垂径定理
一、学习目标
理解弦和弧的概念
理解圆的轴对称性
掌握垂径定理及推论
学习重点:圆的轴对称及垂径定理
学习难点:垂径定理及其应用
二、学法指导
第一步:自主阅读课本第96页----100页
第二步:独立完成导学案的自学导航部分
第三步:独立完成探究提升部分,然后小组合作交流解决单独不能解决的问题
第四步:合作交流,展示重难点
第五步:归纳小结,并完成目标测评
三、自学导航
1、圆 轴对称图形,其对称轴是 经过 的直线。
2、圆上 的部分叫做圆弧,简称弧。
如右图中的
3、连接圆上任意两点间的 叫做弦,
如下图中的 ,
经过 的弦叫做直径,如图中的
4、探索垂径定理
(1).在一张纸上任意画一个⊙O,沿圆周将圆剪下,把这个圆对折使圆的两半部分重合.
(2).得到一条折痕CD.
(3).在⊙O上任取一点A,过点A作CD折痕 的垂线,得到新的折痕,其中,点M是两条折痕的交点,即垂足.
(4).将纸打开,新的折痕与圆交于另一点B,如右图
问题:①观察右图,它是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
②你能发现图中有那些等量关系?说一说你的理由。(2组)
总结得出垂径定理:垂直于弦的直径平分 ,并且平分 。
5、能够完全重合的弧称为等弧。等弧只能出现在同一个圆(简称“同圆”)或者半径相等的圆(简称“等圆”)。
6、完成课本P100随堂练习第1题(3组)
7、如下图示,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于点M.
同学们利用圆纸片动手做一做,然后回答:(1)右图 轴对称图形,如果是,其对称轴是 (2)你能发现图中有那些等量关系? 。
说一说你的理由:
(4组)
总结得出垂径定理逆定理:平分弦(不是直径)的 垂直于弦,并且平分
8、如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?为什么?(5组)
9、如图已知⊙○的半径为30mm,弦AB=36mm,求点○到AB的距离及∠OAB的余弦值.(6组)
四、探究提升
1、如图,两个圆都以点○为圆心,小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上,你认为AC与BD的大小有什么关系?为什么?(7组)
2、如图,M为⊙O内一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M,并且AM=BM(8组)
3、如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm,EB=2cm,∠CEA=30°,求CD的长.(9组)
五、目标检测
1、判断正误:
(1)直径是圆的对称轴.( )
(2)平分弦的直径垂直于弦.( )
(3)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.( )
(4)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.( )
(5)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.( )
(6)圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行. ( )
(7)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. ( )
2、已知:如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB<CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 .
图中相等的劣弧有 .
如图,在⊙O中,弦AB=8cm,OC⊥AB于C,OC=3cm,
求⊙O的半径长.
4、已知:如图,⊙O 中, AB为 弦,C 为弧 AB 的中点,OC交AB 于D ,AB = 6cm ,CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.(1组)
5、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.(9组)
6.储油罐的截面如图3-2-12所示,装入一些油后,若油面宽AB=600mm,求油的深度.
课后练习:
1、已知AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD,AB将CD分成3cm和7cm两部分,求:圆心O到弦AB的距离
2、已知:⊙O弦AB∥CD 求证:
已知:⊙O半径为6cm,弦AB与直径CD垂直,且将CD分成1∶3两
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