2015届高考数学总复习强化训练（北师大版）第二章：2.5《指数与指数函数》.docVIP

§2.5　指数与指数函数 1． 分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a0，m，n∈N＋，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a＝(a0，m，n∈N＋，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)幂的运算性质：aman＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，其中a0，b0，m，n∈R. 2． 指数函数的图像与性质 y＝ax a1 0a1 图像 定义域 (1)R 值域 (2)(0，＋∞) 性质 (3)过定点(0,1) (4)当x0时，y1；x0时，0y1 (5)当x0时，0y1；x0时，y1 (6)是R上的增函数 (7)是R上的减函数 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)()4＝－4.(　×　) (2)(－1) ＝(－1) ＝.(　×　) (3)函数y＝a－x是R上的增函数．(　×　) (4)函数y＝a(a1)的值域是(0，＋∞)．(　×　) (5)函数y＝2x－1是指数函数．(　×　) (6)函数y＝()1－x的值域是(0，＋∞)．(　√　) 2． 若a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，则(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值是(　　) A．1 B. C. D. 答案　D 解析　a＝(2＋)－1＝2－，b＝(2－)－1＝2＋， ∴(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(3－)－2＋(3＋)－2 ＝＋＝. 3． 设函数f(x)＝a－|x|(a0，且a≠1)，f(2)＝4，则(　　) A．f(－2)f(－1) B．f(－1)f(－2) C．f(1)f(2) D．f(－2)f(2) 答案　A 解析　∵f(x)＝a－|x|(a0，且a≠1)，f(2)＝4，∴a－2＝4，∴a＝，∴f(x)＝－|x|＝2|x|，∴f(－2)f(－1)． 4． 若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__________． 答案　(－，－1)∪(1，) 解析　由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0a2－11，∴1a22，即1a或－a－1. 5． 已知0≤x≤2，则y＝4－3·2x＋5的最大值为________． 答案　 解析　令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4， 又y＝22x－1－3·2x＋5，∴y＝t2－3t＋5 ＝(t－3)2＋， ∵1≤t≤4，∴t＝1时，ymax＝. 题型一　指数幂的运算 例1　化简：(1) (a0，b0)； (2) . 思维启迪　运算中可先将根式化成分数指数幂，再按照指数幂的运算性质进行运算． 解　(1)原式＝＝＝ab－1. (2)原式＝ ＝－10(＋2)＋1 ＝＋10－10－20＋1＝－. 思维升华　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 　(1)化简(x0，y0)得(　　) A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y (2) ·＝________. 答案　(1)D　(2) 解析　(1)＝ ＝[24(－x)8·(－y)4] ＝2·(－x) ·(－y) ＝2(－x)2(－y)＝－2x2y. (2)原式＝＝. 题型二　指数函数的图像、性质 例2　(1)函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a1，b0 B．a1，b0 C．0a1，b0 D．0a1，b0 (2)若函数f(x)＝e(e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m＋μ＝________. 思维启迪　对于和指数函数的图像、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手． 答案　(1)D　(2)1 解析　(1)由f(x)＝ax－b的图像可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)＝ax－b的图像是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b0. (2)由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)， 即，∴(x＋μ)2＝(x－μ)2，∴μ＝0， ∴f(x)＝e.又y＝ex是R上的增函数，而－x2≤0， ∴f(x)的最大值为e0＝1＝m，∴m＋μ＝1. 思维升华　(1)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像． (2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对两层函数分别进行研究． 　(1)函数y＝的图像大致为(　　) (2)若函数f(x)＝ax－1(a0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝__