2016年全国高中数学联赛8月份培训讲稿（提纲）（几何--李建泉）.doc

2016年全国高中数学联赛8月份培训讲座 PAGE PAGE \* MERGEFORMAT 6 几何 李建泉 1.已知是以的边为直径的圆，的角平分线与分别交于点，的内切圆与分别切于点，证明四点共线。 2.已知的边长均为整数，为的中点，内切圆与分别切于点，在是的投影为，若四边形为平行四边形，且，求的值。 3.在非等腰中，，其内切圆与边分别切于点，直线与直线分别交于点，若为边的中点，证明四点共圆。 4.已知，点是直线上的动点，且点在点之间，的内切圆有两个不同的交点，证明经过一个不依赖于的定点。 5.在非等腰中，其内切圆与边分别切于点，过点且垂直于的直线与交于点，过点且垂直于的直线与交于点，是线段的中点，证明三点共线；若为定点，为平面上满足（为给定常数）的动点，且三点不共线，直线与分别交于点，直线与分别交于点，则的中垂线恒过一个定点。 6.设的内切圆与边分别切于点，的中点为，与交于点，以为直径的圆分别与交于点，证明；三点共线。 7.设非等腰的内切圆与边分别切于点，的中点为，为上一点，且满足，是直线上一点（在的内部），使得，证明要么 ，要么。 8.已知内切于点，的动弦与相切，证明的内心的轨迹是一个与切于点的圆。 9.在凸四边形中，，对角线交于点，的外心和内心分别为，求证如果，则。 10.已知的内心为，，是边上一点，且，的内心为，与的外接圆交于点，点关于点的对称点为，过作的平行线，与交于点，直线与交于点，证明。 11.已知的内切圆与边分别切于点，直线与的外接圆交于点，的外心分别为，证明的外心在直线上。 12.已知的外接圆为，分别与射线及相切，其中在的内部，在的外部，设的公切线与的公切线交于点，的不含点的弧的中点为，为的直径，证明三点共线。 13.在四边形中，，为四边形内一点，为的中点，证明当且仅当。 14.已知的周长相等，的角平分线交于点，证明。 15.已知的外接圆为，在上的投影为，是的延长线上一点，的角平分线与交于点，线段的中点为，过点作的平行线，与直线交于点，证明。 16.已知是锐角三角形，为边上的高线，点关于的中点的对称点为，过点分别作的外接圆的切线交于点，过点且垂直于的直线与分别交于点，证明。 17.已知的边的中点分别为，在上的投影分别为，的中点分别为，直线交于点，交于点，证明。 18.已知为上的两个定点，为上的动点，且为锐角三角形，为其两条高线，动圆过点。若与切于点，证明；设的垂心为，若与交于两点，的外接圆与交于点，过点，且与切于点（在的同侧），证明的角平分线过一个定点。 19.在中，为边上的点，在点之间，且，为边上的点，在点之间，且，线段交于点，的外接圆的第二个交点为，在的内部。若的中点为，证明。 20.在非等腰中，的角平分线和其外角平分线与直线分别交于点，过点分别作的内切圆的不同于直线的切线，切点分别为，证明三点共线。 21.在中，的角平分线与边交于点，线段的中垂线与的外接圆交于两点，证明的外接圆与边相切。 22.已知分别为锐角的边上的点，为线段的中点，的中垂线与直线交于点，的中垂线与分别交于点，若四点共圆，证明。 23.已知中的角平分线为，其内切圆与切于点，是的外接圆上一点，且，直线与的外接圆交于点，证明。 24.已知为的非直径的定弦，为的优弧上的动点，使得为锐角三角形，且，为其垂心，为边的中点，射线与交于点，直线交于点，与交于点，过点作的垂线，与交于点，与切于点的圆与分别交于点，为的中点，证明点在一个定圆上；过一个定点。 25.已知为的边的中点，与的外接圆交于点，过作的平行线，与交于点，过作的垂线，垂足为，点关于点的对称点为，在上的投影为，为的中点，直线交于点，证明平分线段。 26.已知分别为的边上的点，且四边形为平行四边形，以的中点为圆心，为半径的圆与以为直径的圆的第二个交点为，证明三线共点。 27.已知非等腰的外接圆为，其内切圆与边分别切于点，的外接圆与交于异于点的点，的外接圆与交于异于点的点，证明四点共圆。 28.已知的外接圆为，其九点圆为，以其垂心与重心所连线段为直径的圆为，证明共根轴。 29.已知非等腰锐角的外心和垂心分别为，圆过点，且与直线切于点，圆的圆心在射线上，且与直线切于点，若圆与圆交于异于点的点，证明。 30.已知为非等腰的边的中点，为其重心，正方形的顶点均按逆时针排列，为正方形的中心所连线段的中点，求的值；若的外接圆与边的第二个交点为，于点，求的值。 31.已知的垂心为，为其三条高线，线段的中点分别为，直线交于点， 交于点，交于点，证明直线与的外接圆相切。 32.在圆内接四边形中，的中点分别为，对角线交于点，与的外接圆交于另外一点，证明。 33.已知中内的旁心为，的外接圆的不含点的弧的中点为，与交于点，证明。 34.过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，的中点分别为，过点作圆的另一条切