3.导数的几何意义.ppt

§1 导数的概念 §2 求导法则 §3 参变量函数的导数 §4 高阶导数 §5 微分 第五章 导数与微分 作 业 第 94-95 页 A 类：1，3，4，6（1），7，9（1）； B 类：8，10； C 类：13 道，这个记号实质是一个“微分的商”. 例7 求函数 y = xn 的导数，n为正整数. 解 由于 相应地，　　 也可表示为 因此 例8 证明: 我们只证明 ( i ) 的第二式和 ( iii ) . 证 ( i ) 由于 上的连续函数，所以 (iii) 由于 因此 特别有 三、导数的几何意义 切线的方程是 记 a 为切线与 x 轴正向的夹角，则 f ￠(x0) = tana . (8) 在用几何问题引出导数概念时, 已知 是曲线 处切线的斜率. 在点 所以该 由此可知, f ￠(x0) 0 说明 a 是锐角; f ￠(x0) 0 说 明 a 是钝角; 点击上图动画演示 则曲线 y = f (x) 在点 P 的切线垂直于 x 轴，此时 符合上述特征, 故在该点 1 1 特别要注意，如果 在点 连续, 且 如右图所示, 曲 为 在点 (1,0) 处 线 处的切线为 y = f (x) 在点 P 的切线方程 例9 求曲线 y = ln x 在其上任一点 P (x0 , ln x0 ) 处 的切线和法线方程. 解 因此 y = lnx 在点 P 的切线方程和法线方程分别为 方程. 例10 求曲线 在点 P(0, 0) 处的切线和法线 在点 P ( 0, 0 ) 处的切线、法线方程分 所以 别为 解 由于 在 处连续,且 与瞬时变化率有关的物理问题还有很多，例如瞬 率，即 时电流强度 i(t) 是通过导线截面电量 q(t) 的变化 质量分布不均匀的金属丝，以 m (x) 表示从 0 到 x 的质量，则它在 x 处的线密度 r (x) 是 m (x) 在 x 处的变化率，即 除了上面介绍的几何和物理问题外，导数在其他 定义3 如果函数 f 在点 x0 的某个邻域 U(x0) 上 对一切 x?U(x0) 有 则称函数 f 在 x0 处取得极大(或极小)值, 称点 x0 值, 极大值点、极小值点统称为极值点. 为极大(或极小）值点. 极大值、极小值统称为极 领域(如经济、化学、生物等)也有广泛的应用. 如图，函数 在 处取极小值,在 ○ · 外, 在 处 是极值点. 切线, 但它不 虽然也有水平 足为奇的. 此 现象, 那是不 因此如果出现某一极大值反而小于另一极小值的 处取极大值. 由于极值是一个局部性概念, 例11 证 由右导数的定义: 与极限保号性，推知存在 0 , 使得 (9) 再由 ,得 于是 (9) 式成立. 根据例11，可得如下重要定理： 设函数 f 在点 x0 的某邻域内有定义,且在点 x0 可 定理 5.3 (费马定理) 导. 如果 x0 是 f 的极值点，则必有 使得 类似地，若 上述定理的几何意义：如果 f 在极值 x = x0 处可 导，则该点处的切线平行于 x 轴. 称满足方程 f ￠(x) = 0 的点为 f 的稳定点. 注 稳定点不一定都是极值点，如 x = 0 是 y = x3 不是稳定点 ( 因为它在 x = 0 处不可导 ). 都是稳定点, 如 x = 0 是 y = | x | 的极小值点 , 但 的稳定点,但不是极值点. 反之,极值点也不一定 费马 ( Fermat, P. 1601-1665, 法国 ) 达布 ( Darboux,J.G. 1842-1917, 法国 ) 定理5.4(达布定理) 是介 如果 f 在 [a, b] 上可导，且 之间的任一实数，则至少存在 证 令 F(x) = f (x)－ kx, 则 F ￠(x) = f ￠(x) －k .根据 费马定理,只要证明 F(x) 在 (a, b) 上有极值点即可. 由于 使得 由此可知, [a, b] 上的连续函数 , 其最大值必在 由费马定理得 , 即 定是极大值, 某一点 c ? (a, b) 处取得. 区间内取得的最大值一 四、小结 1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 6. 判断可导性 不连续,一定不可导. 连续 直接用定义; 看左右导数是否存在且相等. 思考题 思