N次幂凸函数与JENSON不等式-横山桥高级中学.docVIP

对数函数下的 —— N次幂凸函数与Jensen型不等式 常州市武进区横山桥高级中学 陈志强 摘要: 结合中学数学中的对数函数来给出N次幂凸函数的定义和判断N次幂凸函数的几个定理，建立关于N次幂凸函数的Jensen型不等式． 关键词: 对数函数；凸函数；N次幂凸函数；Jensen型不等式． 引 言 凸函数的重要性及其应用价值已为大家所熟知，尤其在不等式研究中，凸函数所发挥的作用是无可替代的．本文对照凸函数和平方凸函数的概念提出N次幂凸函数的概念，给出了关于N次幂凸函数的六个性质，并且建立了关于N次幂凸函数的Jensen型不等式，进一步拓展了凸函数的研究领域，扩大了凸函数的应用价值，使凸函数在不等式研究中发挥更加广泛的作用． 中学数学中的函数模型 中学数学中有一个典型的函数模型——对数函数，从对数函数的图像来讲，当当时，其在定义域上的图像呈现向上凸的形状；时，其在定义域上的图像呈现向下凸的形状，符合这种图像特征的函数我们称之为凸函数 a1 0a1 图 象 y y=logax O (1,0) x y y=logax O (1,0) x 定 义　设在区间上有定义，如果对任意，有 则称在区间上是下凸函数；如果上式不等号反向，则称在区间上是上凸函数． 具 体 模 型：若函数，，对于任意的， 当时，函数满足，我们称函数在上为下凸函数；当时，函数满足，我们称函数在上为上凸函数. 拓 展 定 义 　设在区间上有定义，如果对任意，有 则称在区间上是下凸函数；如果上式不等号反向，则称在区间上是上凸函数． 预备知识 在引入新概念之前，我们再给出一个常用概念——平方凸函数．我们知道，通过算术平均值、几何平均值、调和平均值可以分别用来定义凸函数、几何凸函数、调和凸函数的概念，运用这一规律，我们利用凸函数与平方凸函数的概念模式，再结合N次幂平均值，进一步建立了N次幂凸函数的概念． 定 义 　设是定义在区间上的正值函数，如果对任意，有 则称在区间上是平方下凸函数；如果上式不等号反向，则称在区间上是平方上凸函数． 定 义 ３　设是定义在区间上的正值函数，如果对任意，有 则称在区间上是Ｎ次幂下凸函数；如果上式不等号反向，则称在区间上是Ｎ次幂上凸函数． Ｎ次幂凸函数性质 我们已经给出了N次幂凸函数的概念，这里我们针对凸函数的特点，给出一个引理，来进一步研究N次幂凸函数，其反函数、复合函数、倒数函数、和函数的凸性，以及凸函数与N次幂凸函数的关系，并且给出了利用导数来判断N次幂凸函数的一种方法． 引 理　若是区间（）上的正值下凸（上凸）函数，则为上的Ｎ次幂下凸（上凸）函数． 证明　任取， 因为是区间上的下凸函数，所以 又　　　　　　　　　 于是　　　　　　　　　 根据定义３，为上的Ｎ次幂下凸函数． 定 理 １ 设区间，． 若为上严格增加的Ｎ次幂下（上）凸函数，则反函数为上严格增加的Ｎ次幂上（下）凸函数. 若为上严格减少的Ｎ次幂下（上）凸函数，则反函数为上严格减少的Ｎ次幂下（上）凸函数. 证明　这里仅证定理1（１）的前一种情况，其他同理可证． 因为在上为严格递增函数，所以反函数在上为严格增函数． 任取，则存在 使 ，，， 因为为上是Ｎ次幂下凸函数，所以对任意， 有 即　　　　 （＊） 且 ， 又的反函数在上是严格增函数，于是（＊）式化为 即 根据定义３以及在上是严格增函数，可知 函数在区间上是严格增加的Ｎ次幂上凸函数． 定 理 ２ 设是定义在区间上的正值函数，，区间，区间． 若为上严格增加的Ｎ次幂下（上）凸函数，为上的Ｎ次幂下（上）凸函数，则为上的Ｎ次幂下（上）凸函数． 若为上严格减少的Ｎ次幂下（上）凸函数，为上的Ｎ次幂上（下）凸函数，则为上的Ｎ次幂下（上）凸函数． 证明　这里仅证定理2（１）的前一种情况，其他同理可证． 任取， 因为为上的Ｎ次幂下凸函数，则 且　　　　　 ， 又为上严格增加的Ｎ次幂下凸函数，于是 且 故　　　　　　 根据定义３，为上的Ｎ次幂下凸函数． 定 理 3　设是定义在区间上的正值函数，若是区间上的Ｎ次幂上凸函数，则在区间上是Ｎ次幂下凸函数． 证明　任取， 因为是区间上的Ｎ次幂上凸函数，所以 又由Cauchy不等式，可得 于是 即 根据定义３，在区间上是Ｎ次幂下凸函数． 定 理 4　设是定义在区间上的正值函数，若是区间上的Ｎ次幂