§3协方差和相关系数.ppt

* * §3 协方差及相关系数 返回目录 则称其为 X 与 Y 的协方差 (Covariance) 为X 与Y 的相关系数 或称为X 与Y 的标准协方差 定义 若E{[X-E(X)][Y -E(Y)]}存在, 计算公式 协方差的性质： (a,b 是常数) 定理 证明: 证明: 称X 与 Y 正相关. 称X 与 Y 负相关. 证明： 称X 与 Y 不相关. 若 X 与 Y 相互独立,则X 与 Y 不相关. X 与 Y 相互独立, ∴X 与 Y 不相关 (X 与 Y 不相关) X 与 Y 不相关 X 与 Y 相互独立 求： 例1 随机变量(X, Y)的分布律为: 解: 例2 设随机变量 X 和 Y 的联合密度为 求： 解: 例3 已知 求： 解: 例4 设X 的分布律为: 求ρXY , 并讨论X与Y 的独立性. 解: ∴X与Y 不独立. X与Y 不相关. (1)不相关的随机变量不一定独立; (2)不相关不是没有关系,而是没有线性关系. 本例说明: 求X和Y 的相关系数. 例5 设(X,Y)服从二维正态分布, 则X与Y 相互独立的充要条件是X与Y 不相关. 思考题： 1.二维随机变量独立与不相关有什么关系？相关系数表示什么？ 2. 二维正态分布的联合密度函数与边缘密度函数有什么关系？ 思考题答案： 相关系数绝对值的大小反映了随机变量间线性关系的密切程度. X 与 Y 不相关 1. X 与 Y 相互独立 当ρ取不同值时,表示不同的二维正态分布.而边缘分布与ρ无关,所以不同的联合分布可以有相同的边缘分布. 对于不相关的两个正态随机变量,联合分布可以确定边缘分布,边缘分布也惟一确定联合分布.其它分布不具备这性质. 2. 二维正态分布的边缘分布是一维正态分布 当 保持不变时,ρ可以取不同的值. 练习题： 1. 随机变量X ~ b (n, p), Y 服从参数为λ的指数分布,则有( ) ,则有( ) 4.如果ξ,η独立,则( ) 3.ξ与η独立,其方差分别为 6 和 3,则 =( ) (1) 9 ； (2) 15； (3) 21； (4) 27 5.设ξ,η为两个随机变量, 则 ( ) (1) 2.4； (2) 14.4； (3) -2.4； (4) –14.4 6.设随机变量 X 与Y 的方差存在且不等于0,则 是X 与Y ( ) (1) 不相关的充分条件,但不是必要条件. (2) 独立的充分条件,但不是必要条件. (3) 不相关的充分必要条件. (4) 独立的充分必要条件. 7.关系式 表示随机变量X 与Y ( ) (1) 相互独立 (2) 不相关 (1) 求 ,(2) X与Y是否相关？是否独立？ 9. 设二维随机向量 的联合分布为 8. 设随机变量 X与Y 的相关系数为0.5， 则 11. 设二维随机变量ξ,η的联合密度函数为 求 的相关系数. 10.设随机变量X 和Y 的联合密度为 求X和Y 的相关系数.