二次型的标准形过非退化线性替换化成平方和的形式1.PPT

二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型 它的矩阵是对角阵 小结 1、二次型的标准形 作业： * * §5.2 标准形(1) 平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？ 任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成 ? 证明： 对二次型变量个数n作归纳法. 假定对n－1元二次型结论成立. 一、二次型的标准形 过非退化线性替换化成平方和的形式.　 1、（定理1）数域P上任一二次型都可经 n=1时， 结论成立. 下面考虑n元二次型 这里， 是一个. 的n－1元二次型. 配方法 它是非退化的， 且使 使它变成平方和 于是，非退化线性替换 由归纳假设，对 有非退化线性替换 就使 变成 2） 但至少有一个 不妨设 作非退化线性替换： 不为零. 由情形1）知，结论成立. 则 这是一个 的二次型，且 的系数 这是一个n－1元二次型，由归纳假设，结论成立. 总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性 替换化成平方和的形式. 即 3） 由对称性， 2、二次型的标准形的定义 所变成的平方和形式 注：1）由定理1任一二次型的标准形是存在的. 2）可应用配方法得到二次型的标准形. 二次型 经过非退化线性替换 的一个标准形. 称为 则 解：作非退化线性替换 例1、求 的标准形. 或 最后令 则 或 再令 所作的非退化线性替换是 即 则 3、（定理2）数域P上任一对称矩阵合同于 证：对A的级数作归纳法. 假定对n－1级对称矩阵结论成立，考虑n级矩阵A， 分四种情形讨论： 使C′AC为对角矩阵． 即　　　　 若 A′＝A ，则存在可逆矩阵 n＝1时， 为对角阵,结论成立. 设 一个对角矩阵. 这里 这里 A1为n－1级对称矩阵. 则 这里 是n－1级对称矩阵， 为对角矩阵. 由归纳假设，存在可逆矩阵G，使 为对角矩阵. 令 则 令 则C可逆，且 为对角矩阵. 其中 归结为情形1，结论成立. 令 ，则 3) 但有一个 则 令 显然 2)　　　　 但有一个 归结为情形1）. 则 4) 由对称性, 有 于是 为n－1级对称矩阵. 为对角矩阵. 为对角矩阵. 由归纳假设，有n－1级可逆矩阵G，使 令　　　　　　则 例2　根据定理2，求例1中二次型的标准形. 情形3) 情形1) 令 解： 的矩阵为 情形1) 令 令 为对角矩阵. 作非退化线性替换X＝CY， 则 即得 　　　　　的标准形 基本概念 基本结论 定理2、数域P上任一对称矩阵合同于一 个对角矩阵. 定理1、任一数域P上的二次型 f (x1,x2,…,xn) 都可经过 一适当的非退化线性变换X＝CY化为标准形