求粒子的能量波函数和概率密度.PPTVIP

{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数 如图所示，有一质量为m的粒子在一维势阱中运动，势函数为 由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。 [解析]由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。 由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外，所以定态波函数ψ(x) = 0 (x a，x 0)。 粒子在阱内定戊波函数的薛定谔方程为 (0 ≤ x ≤ a) O ∞ a x ∞ 设 方程可简化为 其通解为ψ(x) = Asinkx + Bcoskx， 由于波函数是连续的，在x = 0处有ψ(0) = 0，所以B = 0。 波函数为ψ(x) = Asinkx。 {范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数 如图所示，有一质量为m的粒子在一维势阱中运动，势函数为 由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。 在x = a处也有ψ(a) = 0，所以Asinka = 0， 由于A不恒为零，所以ka = nπ。 k只能取不连续的值，用kn表示，则 kn = nπ/a (n = 1，2，3，…) O ∞ a x ∞ 可得 (n = 1，2，3，…) n称为量子数。 要使问题有解，粒子的能量只能取分立的值，或者说能量是量子化的，En称为能量的本征值。 ψ(x) = Asinkx n = 1状态称为基态，也就是粒子能量最低的状态，最低能量为 其他态称为激发态，E2称为第一激发态。 {范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数 能量En对应的波函数为 不同的能级具有不同的波函数。 (n = 1，2，3，…) (0 ≤ x ≤ a) 根据归一化条件 ψ(x) = Asinkx， 可得 因此 可见：波函数的归一化常数与能级的级次无关，与势阱宽度的平方根成比反比。 波函数为 概率密度为 可见：粒子在势阱中出现的概率因地而异，在阱壁处的概率为零；概率密度分布还随量子数改变。 这些结果与经典力学根本不同，按照经典力学的观点，粒子在势阱内各处出现的概率应该相等。 能级个数不妨取4。 一维无限深势阱中粒子的波函数是正弦函数。 在两壁处，波函数恒为零。 量子数n也是波腹的个数，波腹之间有n - 1个波节。 粒子的波函数的模方就是概率密度，其高度表示能级。 在两壁处，概率密度恒为零，表示此处不会出现粒子。 当量子数n = 1时，中间出现粒子的概率密度最大；当量子数n = 2时，有两个地方出现粒子的概率密度最大。