平面常宽曲线研究-华东师范大学数学系.docVIP

平 面 常 宽 曲 线 研 究 2001级基地班 陆 虹 摘要：首先，利用平面闭凸曲线的切线极坐标构造了一类新的平面光滑常宽曲线；其次，总结和证明了平面常宽曲线的一些性质；然后，对于平面常宽凸区域，提出了对其不对称性的一种量度，并且证明在这种量度下，最对称的平面常宽区域是圆盘，最不对称的平面常宽区域是Reuleaux三角形所围成的平面凸区域；最后，介绍了关于高维常宽凸体的一些性质。 Abstract: First, we will present a new type of smooth constant breadth curves in terms of the polar tangential coordinates (Minkowski’s support function) for the closed convex curves in the plane. Next, we will present some properties for constant breadth curves in the plane. Then, we introduce for convex domains of constant width a measure of asymmetry and show that the most symmetric domains are circular discs and the most asymmetric ones are the domains enclosed by Reuleaux triangles. Finally, we introduce some properties for convex bodies of constant width in the higher-dimensional situation. 关键词：平面常宽曲线；切线极坐标；不对称性 Key words: planar constant breadth curves; the polar tangential coordinates; asymmetry §1 引言 在平面闭凸曲线的整体理论中，常宽曲线是备受关注的。对这种曲线，人们得到了许多性质,例如参见[1]、[2]、[4]、[6]。而且常宽曲线在机械设计中也有重要的应用价值,例如参见[7]、[8]。 然而，到目前为止，所知的常宽曲线的具体例子并不很多，人们比较熟悉的例子有Reuleaux三角形和Reuleaux多角形等一些分段光滑的常宽曲线。当然，也可用Reuleaux三角形和Reuleaux多角形的外平行线构造出光滑性稍好的常宽曲线的例子(这种外平行线是但非的)。为了得到或的常宽曲线，文献[12]、[14]采用了逼近的方法，而这种方法仅仅是理论上可行，在实际操作中并不容易。 本文的目的是从常宽曲线的定义出发，给出一些经典例子和新近的例子,并总结和证明常宽曲线的性质。在本文§2中，除了给出上述例子，还利用平面闭凸曲线的切线极坐标构造了一类新的光滑常宽曲线，其参数方程很容易给出，也很容易利用计算机画出图形。在本文§4中，提出了对平面常宽区域对称性的一种量度，并证明在这种量度下，最对称的平面常宽区域是圆盘，最不对称的平面常宽区域是Reuleaux三角形所围的平面区域。 在本文§5中，介绍了高维空间中常宽凸体的一些已知结果。 除非特别声明，本文所讨论的平面曲线都是正定向的闭凸曲线。 §2 平面常宽曲线的定义与例子 2.1 平面闭凸曲线的切线极坐标 为了更好地说明问题，先引入平面闭凸曲线的切线极坐标。 设是平面上一条卵形线，即光滑闭凸曲线。在所围的区域里任取一点作为平面的坐标原点，建立正定向直角坐标系。用表示轴正方向到的切向量的有向角（这里可取为连续可微函数）。用表示点到的切线的定向垂直距离，则是的单值函数，而且是一个以为周期的正值函数。在上的垂足坐标为。于是切线的方程为 的所有切线形成一个单参数直线族，（2.1）式就是其族方程，为参数。这时曲线可以看成是这个切线族的包络。按包络线的求法，可得曲线的参数方程为 如果与已知，我们就能够确定上唯一一点，而且反过来也对。称如上引进的为平面闭凸曲线的切线极坐标，也称为曲线的Minkowski支撑函数。 用Minkowski支撑函数可以表示平面闭凸曲线的曲率、面积和长度等。例如，对（2.2）式求导，并利用平面曲线曲率的计算公式可得曲线的相对曲率为 由于正定向闭凸曲线的相对曲率非负，故曲线的相对曲率半径满足： 利用Minkowski支撑函数容易验证下列关于平面凸曲线的“闭条件”（这个条件在构造平面闭凸曲线时是需要验证的）。 引理2.1 以为周期的正周期函数表示平面上一条正定